专题3.3 空间向量与距离、探究性问题（Word讲义）-【金版新学案】2024高考数学大二轮专题复习与测试（新教材）

第三讲　空间向量与距离、探究性问题 1．(2020·全国Ⅱ卷)已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为(　　) A． B． C．1 D． 答案：C 解析：如图，设球O的半径为R，则4πR2＝16π，解得R＝2.设△ABC外接圆半径为r，边长为a，因为△ABC是面积为的等边三角形，所以a2×＝，解得a＝3，所以r＝× ＝× ＝，所以球心O到平面ABC的距离d＝＝＝1.故选C． 2．(2023·天津卷)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，已知A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，A1C1＝1，N为线段AB的中点，M为线段BC的中点． (1)求证：A1N∥平面C1MA； (2)求平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值； (3)求点C到平面C1MA的距离． 解析：(1)证明：法一(几何法)：连接MN(图略)，因为M，N分别是BC，AB的中点， 所以MN∥AC且MN＝AC＝1，即有MN綉A1C1， 所以四边形MNA1C1是平行四边形，即有A1N∥MC1. 又MC1⊂平面C1MA，A1N⊄平面C1MA， 所以A1N∥平面C1MA． 法二(共面向量基本定理法)：以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz， 则有A(0，0，0)，M(1，1，0)，N(1，0，0)，A1(0，0，2)，C1(0，1，2)． 所以＝(1，0，－2)，＝(1，1，0)，＝(0，1，2)，设＝x＋y，即有(1，0，－2)＝x(1，1，0)＋y(0，1，2)，解得 因为A1N⊄平面C1MA，所以A1N∥平面C1MA． 法三(向量法)：设平面C1MA的法向量为n＝(x，y，z)，由法二可得＝(1，1，0)，＝(0，1，2)，则即不妨取n＝(2，－2，1)．由法二可知＝(1，0，－2)， 所以·n＝1×2＋0×(－2)＋(－2)×1＝0， 所以⊥n. 又A1N⊄平面C1MA，所以A1N∥平面C1MA． (2)由(1)中法二易知，平面ACC1A1的一个法向量为＝(1，0，0)，由(1)中法三知平面C1MA的一个法向量为n＝(2，－2，1)， 所以cos〈，n〉＝＝， 所以平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值为. (3)设C到平面C1MA的距离为d，在△C1MA中，AM＝BC＝，AC1＝＝，MC1＝＝，则S△C1MA＝××＝， 由VC-C1MA＝VC1-CMA可得dS△C1MA＝d·＝A1A·S△CMA＝×2××2＝，解得d＝. 考情分析 空间距离的计算多出现在小题或解答题的第(1)问，探究性问题多与空间角等问题结合出现在解答题的第(2)问．　　 考点一　空间距离 考向1　点到直线的距离 (1)如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥BC，PB＝AB＝2BC＝2，则点C到直线PA的距离为(　　 ) A． B． C． D．2 (2)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为(　　 ) A．1 B． C． D． 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)因为PB⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PB⊥AB，PB⊥BC， 如图，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，则C(1，0，0)，A(0，2，0)，P(0，0，2)，＝(1，0，－2)，＝(0，2，－2)，即·＝4. 在上的投影向量的长度为＝＝，故点C到直线PA的距离为 ＝.故选A． (2)如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，设P(x，0，1－x)，0≤x≤1，则＝(x－1，0，－x)，＝(－1，1，0)， 所以动点P到直线A1C1的距离为 d＝ ＝ ＝ ＝ ≥，当且仅当x＝时取等号，即线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为.故选D． 考向2　点到平面的距离 (2023·山东济南一模)如图，四棱锥P-ABCD中，△ABD是等边三角形，PA＝PB＝PD，BC＝CD． (1)证明：BD⊥PC； (2)若BD＝2，CD＝AP＝，求点A到平面PCD的距离． 解析：(1)证明：如图，连接AC，交BD于点O，连接PO， 由AD＝AB，CD＝BC，AC＝AC， 可得△ABC≌△ADC， 所以∠BAC＝∠DAC， 又AO＝AO，所以△AOB≌△AOD， 所以BO＝OD，即O为BD的中点， 在等腰△PBD中，可得BD⊥OP， 在等腰△BCD中，BD⊥OC，又OP∩OC＝O，OP，OC⊂平面POC，所以BD⊥平面POC， 又PC⊂平面POC，所以BD⊥PC． (2)由(1)可得AC⊥BD， 又CD＝，OD＝BD＝， 所以CO