专题3.1 空间点、线、面的位置关系的判断与证明（Word讲义）-【金版新学案】2024高考数学大二轮专题复习与测试（新教材）

专题三　立体几何 学生用书↓第41页 第一讲　空间点、线、面的位置关系的判断与证明 1．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　) A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D 答案：A 解析：在正方体ABCD -A1B1C1D1中，AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD，又EF⊂平面ABCD，所以EF⊥DD1，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，所以EF⊥BD，又BD∩DD1＝D，所以EF⊥平面BDD1，又EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确； 如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设AB＝2，则D(0，0，0)，B1(2，2，2)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，则＝(－1，1，0)，＝(0，1，2)，＝(2，2，0)，＝(2，0，2)，＝(0，0，2)，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，0)，设平面B1EF的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则有可取m＝(2，2，－1)， 同理可得平面A1BD的法向量为n1＝(1，－1，－1)， 平面A1AC的法向量为n2＝(1，1，0)， 平面A1C1D的法向量为n3＝(1，1，－1)， 则m·n1＝2－2＋1＝1≠0， 所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故B错误； 因为m与n2不平行，所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误；因为m与n3不平行，所以平面B1EF与平面A1C1D不平行，故D错误．故选A． 2．(2021·浙江卷)如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则(　　 ) A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCD B．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1 C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCD D．直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1 答案：A 解析：如图，连接AD1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是A1D的中点，所以M是AD1的中点，又N是D1B的中点，所以MN∥AB，因为MN⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD．因为AB不垂直BD，所以MN不垂直BD，则MN不垂直平面BDD1B1，所以选项B，D不正确；在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1⊥A1D，AB⊥平面AA1D1D，A1D⊂平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，又因为AD1∩AB＝A，所以A1D⊥平面ABD1，又因为D1B⊂平面ABD1，所以A1D⊥D1B，且直线A1D，D1B是异面直线，所以选项C错误，选项A正确．故选A． 3．(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ＋μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则(　　 ) A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值 B．当μ＝1时，三棱锥P-A1BC的体积为定值 C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP D．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P 答案：BD　 解析：＝λ＋μ(0≤λ≤1，0≤μ≤1)． 对于选项A，当λ＝1时，点P在棱CC1上运动，如图①所示，此时△AB1P的周长为AB1＋AP＋PB1＝＋＋＝＋＋，不是定值，故A错误； 对于选项B，当μ＝1时，点P在棱B1C1上运动，如图②所示， 则VP-A1BC＝VA1-PBC＝S△PBC×＝S△PBC＝××1×1＝，为定值，故B正确； 对于选项C，取BC的中点D，B1C1的中点D1，连接DD1，A1B，则当λ＝时，点P在线段DD1上运动，如图③所示．假设A1P⊥BP，则A1P2＋BP2＝A1B2，即2＋(1－μ)2＋2＋μ2＝2，解得μ＝0或μ＝1，所以点P与点D或D1重合时，A1P⊥BP，故C错误；对于选项D，易知四边形ABB1A1为正方形，所以A1B⊥AB1.设AB1与A1B交于点K，连接PK(图略)，要使A1B⊥平面AB1P，需A1B⊥KP，所以点P只能是棱CC1的中点，故选项D正确．故选BD． 4．(2023·全国乙卷) 如图，在三棱锥P-ABC 中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O, AD＝DO，点F在AC上，BF⊥AO . (1)证明：EF∥平面ADO； (2)证明：平面ADO⊥平面BEF； (3)求二面角D -AO -C的正弦值． 解析：(1)证明：如图，连接DE，OF，设AF＝tAC，则＝＋＝(1－t)＋t，＝－＋，又BF⊥AO，AB⊥B