专题2.4 重难突破5 裂项相消问题新视角（Word讲义）-【金版新学案】2024高考数学大二轮专题复习与测试（新教材）

重难突破5　裂项相消问题新视角 类型一　指数型 已知正项递增的等比数列{an}满足a1＋a3＝30，a2＝9. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn. 解析：(1)设等比数列{an}的公比为q， 因为数列{an}为正项递增的等比数列，所以q＞1， 又因为a1＋a3＝30，a2＝9，所以解得或(舍去)， 所以等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n. (2)由(1)知an＝3n， 所以bn＝＝＝－， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－. 感悟提升 常见指数型裂项： ＝－. 针对练1.已知数列{an}为等比数列，且a6＝3a4＋16，a3＝3a1＋2. (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解析：(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则解得 则等比数列{an}的通项公式为an＝2n. (2)由an＝2n，可得bn＝＝an＝2n＝－， 则{bn}的前n项和Tn＝＋＋＋＋…＋＝－2. 类型二　 无理型 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S5＝25，且3Sn＋1－an＝2Sn＋Sn＋2(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解析：(1)由3Sn＋1－an＝2Sn＋Sn＋2，得－an＝2Sn－3Sn＋1＋Sn＋2＝2Sn－2Sn＋1＋Sn＋2－Sn＋1＝－2an＋1＋an＋2，即2an＋1＝an＋an＋2， 所以数列{an}为等差数列， 由S5＝5a3＝25得a3＝5，设公差为d，a3＝5＝a1＋2d＝1＋2d，得d＝2， 所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， 故数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)bn＝＝(－)，所以Tn＝[(－1)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝(－1)． 感悟提升 常见的无理型裂项： ＝(－)．右右右　　 学生用书↓第35页 针对练2.已知各项均为正数的等差数列{an}满足a1＝1，a＝a＋2(an＋1＋an)． (1)求{an}的通项公式； (2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. 解析：(1)已知各项均为正数的等差数列{an}满足a1＝1，a＝a＋2(an＋1＋an)， 整理得(an＋1＋an)(an＋1－an)＝2(an＋1＋an)，由于an＋1＋an≠0， 所以an＋1－an＝2， 故数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1. (2)由(1)可得bn＝＝＝2(－)， 所以Sn＝2×[(－1)＋(－)＋…＋(－)]＝2(－1)． 类型三　通项裂项为“＋”型 (2023·山东菏泽一模)已知首项不为0的等差数列{an}，公差d≠0，at＝0(t为给定常数)，Sn为数列{an}的前n项和，且Sm1＝Sm2(m1<m2)，{bn}为m2－m1所有可能取值由小到大组成的数列． (1)求bn； (2)设cn＝(－1)n，Tn为数列{cn}的前n项和，证明：T2n≤－. 解析：(1)由题意得，at＝a1＋(t－1)d＝0，得a1＝(1－t)d①， 由Sm1＝Sm2(m1<m2)，得m1a1＋d＝m2a1＋d②， 由①②，可得m1＋m2＝2t－1，且2m1<m1＋m2＝2t－1，则1≤m1≤t－1<t－， 由m2－m1＝－2m1＋2t－1，当m1在1≤m1≤t－1范围内取值时，m2－m1的所有取值为2t－3，2t－5，…，5，3，1. 所以bn＝2n－1(1≤n≤t－1)． (2)证明：cn＝(－1)n＝(－1)n＝(－1)n， 所以T2n＝＝， 由于T2n＝(1≤n≤t－1)是递减的，所以T2n≤T2＝＝－. 感悟提升 常见的通项裂项为“十”型 1．(－1)n·＝(－1)n. 2．(－1)n＝(－1)n. 3.＝(－1)n.　　 针对练3.已知在数列{an}中，an＞0，a1＝1，Sn为其前n项和，且满足(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝1(n≥2)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(－1)n·，求数列{bn}的前n项和Tn. 解析：(1)由题可知S－S＝1(n≥2)⇒数列{S}是等差数列，所以S＝a＋(n－1)＝n，Sn＝⇒an＝Sn－Sn－1＝－(n≥2)，又因为a1＝1满足上式，所以an＝－. (2)由(1)知bn＝＝＝(－1)n(＋)，所以Tn＝(－－)＋(＋)＋(－－)＋(＋)＋…＋(－1)n(＋)＝(－1)n. 专题集训(十一)　裂项相消问题新视角(重难突破) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 1．已知数列{an}的前n项和为Sn，其中a1＝1，S2＝5，当n≥2时，an＋1，2Sn，4Sn－1成等差数列． (1)求数列{an}的通