专题2.2 数列求和及综合应用（Word讲义）-【金版新学案】2024高考数学大二轮专题复习与测试（新教材）

第二讲　数列求和及综合应用 1．(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1＋，b2＝1＋，b3＝1＋，…，依此类推，其中αk∈N*(k＝1，2，…)．则(　　) A．b1<b5 B．b3<b8 C．b6<b2 D．b4<b7 答案：D 解析：由题意，αk∈N*，不妨取αk＝1，k∈N*，所以α1＝α2＝α3＝…＝1，所以b1＝2，b2＝，b3＝，b4＝，b5＝，b6＝，b7＝，b8＝，因为b1＝2>＝b5，所以A错误；因为b3－b8＝－＝>0，所以b3>b8，故B错误；因为b6－b2＝－＝>0，所以b6>b2，故C错误；因为b4－b7＝－＝－<0，所以b4<b7，故D正确．故选D． 2．(2022·浙江卷) 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an－a(n∈N*)，则(　　) A．2<100a100< B．<100a100<3 C．3<100a100< D．<100a100<4 答案：B 解析：因为a1＝1，易得a2＝∈(0，1)，依次类推，可得an∈(0，1)，由题意可得，an＋1＝an，即＝＝＋，所以－＝>，即－>，－>，－>，…，－>(n≥2)，累加可得－1>(n－1)，即>(n＋2)(n≥2)，所以an<(n≥2)，即a100<，100a100<<3.又－＝<＝(n≥2)，所以－＝，－<，－<，…，－<(n≥3)，累加可得－1<(n－1)＋(n≥3)，所以－1<33＋<33＋＝<39，即<40，所以a100>，即100a100>.综上，<100a100<3.故选B． 3．(2020·全国Ⅰ卷)数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和为540，则a1＝ ________． 答案：7 解析：an＋2＋(－1)nan＝3n－1，当n为奇数时，an＋2＝an＋3n－1；当n为偶数时，an＋2＋an＝3n－1.a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41，所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92，又a3＝a1＋2，a5＝a1＋10，a7＝a1＋24，a9＝a1＋44，a11＝a1＋70，a13＝a1＋102，a15＝a1＋140，设数列{an}的前n项和为Sn，S16＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a16＝a1＋a3＋a5＋…＋a15＋(a2＋a4＋…＋a14＋a16)＝a1＋(a1＋2)＋(a1＋10)＋(a1＋24)＋(a1＋44)＋(a1＋70)＋(a1＋102)＋(a1＋140)＋92＝8a1＋392＋92＝8a1＋484＝540，所以a1＝7. 4．(2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn. 解析：(1)因为2Sn＝nan， 当n＝1时，2a1＝a1，即a1＝0， 当n＝3时，2(1＋a3)＝3a3，即a3＝2， 当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－1， 所以2(Sn－Sn－1)＝nan－(n－1)an－1＝2an， 化简得(n－2)an＝(n－1)an－1， 当n≥3时，＝＝…＝＝1， 即an＝n－1， 当n＝1，2时都满足上式，所以an＝n－1(n∈N*)． (2)因为＝，所以Tn＝1×1＋2×2＋3×3＋…＋n×n， Tn＝1×2＋2×3＋…＋(n－1)×n＋n×n＋1， 两式相减得，Tn＝1＋2＋3＋…＋n－n×n＋1＝－n×n＋1＝1－n， 即Tn＝2－(2＋n)n，n∈N*. 考情分析 1．数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法． 2．数列的综合问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不等式相结合，考查最值、范围以及证明不等式等． 3．以选择题、填空题及解答题的形式出现，难度中等．　　 考点一　数列求和 考向1　分组转化法求和 (2023·山东济南一模)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1－(n＋1)an＝1. (1)若数列{bn}满足bn＝，证明：{bn}是常数数列； (2)若数列{cn}满足cn＝sin＋2an，求{cn}的前2n项和S2n. 解析：(1)证明：因为bn＋1－bn＝－＝ ＝ ＝＝0， 所以bn＋1＝bn，所以{bn}是常数数列． (2)因为a1＝1，所以bn＝b1＝＝2， 所以＝2，所以an＝2n－1.因为cn＝sin＋22n－1＝sin＋22n－1， 所以S2n＝＋(21＋23＋25＋…＋24n－1) ＝(1－1＋1－1＋…－1)＋＝. 学生用书↓第30页 感悟提升 1.分组转化求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原