7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系讲义（6大题型归纳）-2027届高三数学一轮复习

7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 目录 01思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、四个公理 3 知识点二、直线与直线的位置关系 3 知识点三、直线与平面的位置关系 4 知识点四、平面与平面的位置关系 4 知识点五、等角定理 4 03 真题回顾 5 04 经典题型归纳总结 7 题型一：判定空间两条直线是异面直线 7 题型二：截面问题 11 题型三：平面基本性质的应用 16 题型四：等角定理 19 题型五：几何法求异面直线所成的角 22 题型六：共面、共线、共点问题的证明 25 05 课后拓展精练 30 知识点一、四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据 推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据 （2）此推论是判定若干平面重合的依据 （3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据 推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面； 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据 （2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点） （3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 知识点二、直线与直线的位置关系 位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面 图形 符号 a∥b 公共点个数 1 0 0 特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 两条异面直线不同在如何一个平面内 知识点三、直线与平面的位置关系 位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线） 图形 符号 ∥ 公共点个数 无数个 1 0 知识点四、平面与平面的位置关系 位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直 图形 符号 ∥ ， 公共点个数 0 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 知识点五、等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 1．（2025·上海·高考真题）如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（   ）．    A．和； B．和； C．和； D．和． 【答案】D 【解析】因为是正四棱台，所以，故A错误， 侧棱延长交于一点，所以与相交，故B错误， 同理与也相交，所以四点共面，所以与相交，故C错误， 与是异面直线，故D正确. 故选：D 2．（2025·上海·高考真题）已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为__________． 【答案】 【解析】 如图，过作交底面圆锥于点，连接， 因为，则为异面直线与所成角， 所以， 又，所以，即， 因为，函数在上单调递减，所以， 故异面直线与所成角的最小值为. 故答案为：. 题型一：判定空间两条直线是异面直线 【典例1-1】将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个四面体后，直线与是异面直线的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对A，沿虚线折成四面体后，如图， 点与点重合，所以直线与相交，不是异面直线； 对B，沿虚线折成四面体后，如图， ，所以直线与不是异面直线； 对C，沿虚线折成四面体后，如图， 可得直线与异面； 对D，沿虚线折成四面体后，如图， 点与点重合，所以直线与相交，不是异面直线. 【典例1-2】在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，以下四个结论中正确的为（    ） A．直线与直线平行 B．直线与直线的交点在平面上 C．直线与直线异面 D．直线与直线的交点在直线上 【答案】D 【解析】连接，由分别为的中点，得，且， 在中，，则，且， 因此且， 则四边形为梯形，为梯形两腰，它们相交且共面，故AC错误； 设，由平面，得平面； 由平面，得平面， 而平面与平面的交线为，于是， 即交点一定在直线上，且交点与点不重合， 因此交点不在平面上，故B错误，D正确． 【变式1-1】设直线a，b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b（    ） A．平行 B．相交 C．是异面直线 D．可能相交，也可能是异面直线 【答案】D 【解析】如图，在长方体中，当所在的直线为，所在的直线为时，与相交； 当所在的直线为，所在的直线为时，与异面． 所以选项D正确. 【变式1-2】过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（   ） A．18对 B．24对 C．30对 D．36对 【答案】D 【解析】三棱柱6个顶点中，不共面的4点组共有个（减去3个侧面上的共面4点组），每个不共面的4点组对应3对异面直线，故异面直线总数为对，选D。 【变式1-3】如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有（    ） A．直线与直线是相交直线 B．直线与直线共面 C．直线与直线平行 D．直线与直线垂直 【答案】B 【解析】对于A，直线在平面内，点在平面内但不在直线上，点不在平面内， 所以直线与是异面直线，故A错误； 对于B，连接，因为分别为棱的中点， 所以在中，为中位线， 所以. 又因为在正方体中，， 所以。 所以四点共面， 即直线与共面，故B正确； 对于C，取的中点，连接。 因为为的中点，为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 若，则， 但，且不重合，这与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾， 所以与不平行，故C错误； 对于D，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为，则， 。 ， 所以直线与不垂直，故D错误. 【解题总结】 判定空间两条直线是异面直线的方法如下： （1）直接法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过B点的直线是异面直线． （2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面． 题型二：截面问题 【典例2-1】在正三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过点，，的截面一定是（    ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【答案】B 【解析】如图，取的中点，连接，，，.因为棱的中点为，棱的中点为， 所以.同理，所以， 所以四边形为经过点，，的截面. 因为棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，所以，， 所以，所以四边形是平行四边形. 因为三棱锥是正三棱锥，所以，所以， 所以四边形是矩形，即经过点，，的截面一定是矩形. 【典例2-2】如图，在正三棱锥中，，.过的中点作与和都平行的平面，则该平面截三棱锥所得的截面面积为（   ） A． B．10 C． D．20 【答案】D 【解析】设截面为，过中点，且，. 因为，，故与底面的交线过且平行于，交于. 在中，为中点，，所以为中点，且. 因为，， 故与侧面的交线过且平行于，交于. 在中，为中点，， 所以为中点，且. 同理，与侧面的交线过且平行于，交于， 则为中点，. 与侧面的交线为， 由中位线性质得，，. 故截面四边形为平行四边形，，. 下面证明. 设底面中心为，连接， 则底面.取中点，连接， 因为正三角形，. 又底面， 所以. 因此平面， 从而. 因为，，且， 所以， 所以平行四边形为矩形，面积. 【变式2-1】已知正方体的棱长为2，P，Q分别为棱的中点，过P，Q，B作正方体的截面，则截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点为T，取的中点为S，取上靠近D的四等分点为M， 取上靠近的四等分点为G，取上靠近的三等分点为N， 连接. 如图 由正方体性质可知，在中，分别为的中点， 所以，所以，故四点共面， 在正方形中，且，所以为平行四边形， 所以，由正方体性质可知， 在中，分别为的三等分点，所以，所以， 故四点共面， 所以五边形为所求的截面多边形. 易知，，，，， 故，，，，. 所以截面五边形的周长为. 故选：A. 【变式2-2】（2026·青海海东·二模）如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在正方体中，取的中点，的中点，连接， 由是的中点，得，则四边形为平行四边形， ，由是的中点，得， 梯形是正方体被平面所截得的截面， ，， 所以所求截面的周长是. 故选：B 【变式2-3】如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】①当时，如图（1），是四边形，故①正确； ②当时，如图（2），是等腰梯形，故②正确； ③当时，如图（3），此时截面为菱形，两条对角线的长分别为 所以，③正确. ④当时，如下图，延长至，使，连接交于，连接交于，连接，则，由，可得，所以，故④正确； 故选：D 【解题总结】 （1）作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． （2）作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线． 题型三：平面基本性质的应用 【典例3-1】（多选题）已知四边形在平面内的平行投影为平行四边形，则四边形可能是（    ） A．平行四边形 B．梯形 C．矩形 D．空间四边形 【答案】ACD 【解析】∵ 平行投影的性质：平行直线的平行投影仍互相平行，共面的两条直线若投影平行，则原直线必互相平行. 对于选项A：当四边形为平行四边形，且其所在平面与平面不垂直、不与投影方向平行时，两组对边的投影仍保持平行，投影为平行四边形，故A正确. 对于选项B：梯形属于平面四边形，仅有一组对边平行，若其投影为平行四边形，则两组对边的投影均平行，可推出原平面四边形两组对边均平行，与梯形定义矛盾，故B错误. 对于选项C：矩形是特殊的平行四边形，同理，当矩形所在平面与平面不垂直、不与投影方向平行时，其在内的平行投影为平行四边形，故C正确. 对于选项D：构造空间四边形：在平面内作平行四边形，分别过作投影方向的直线，在四条直线上分别取异于投影点的四点，调整四点高度使得不共面， 此时得到的空间四边形的平行投影即为，故D正确. 【典例3-2】（多选题）（2026·云南·模拟预测）已知点为空间中的一点，直线过点，且与一对异面直线和均有公共点，则这样的直线可能有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】ABD 【解析】在直线上任取一点，过该点作直线的平行线.记相交直线和确定平面. 在直线上任取一点，过该点作直线的平行线，记相交直线和确定平面，易知， 则任意两条异面直线和均可分别放在两个相互平行的平面和平面内，如图所示， 当点在平面和平面外时，满足条件的直线有且只有一条(如图1)； 当点在平面或者平面内且在直线a，b外时，满足条件的直线有0条（如图2）； 当点在直线或者直线上时，满足条件的直线有无数条（如图3）. 故选：ABD. 【变式3-1】（多选题）下列命题正确的是（    ） A．梯形一定是平面图形 B．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行 C．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 D．若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 【答案】AC 【解析】对于A，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，故A正确； 对于B，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或异面或相交，故B错误； 对于C，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，故C正确； 对于D，若两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故D错误． 【变式3-2】（多选题）（2026·高三·贵州·阶段检测）如图，在空间四边形中，分别是线段的中点，分别是线段上的动点且，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．、、、四点共面，且平面 C．若，则与的交点在直线上 D．若平面，则 【答案】BCD 【解析】对于A，由，可知，因此，所以， 又由为中点可知，，故，因此点四点共面， 当时，直线相交，此时与平面相交，故A错误； 对于B，因为，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，当时，， 因为，所以与相交， 设，则， 因为平面，平面，所以平面平面， 即点在直线上，故C正确； 对于D，因为平面，平面，平面平面， 所以， 同理可得，，则， 又，所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以，故D正确． 【变式3-3】（多选题）如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的点，且，则下列说法正确的是（    ） A．四点共面 B．与异面 C．与的交点M可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点M一定在直线上 【答案】AD 【解析】在空间四边形中，点分别是边的中点，则，且， 点分别是边上的点，且，则，且， 因此，点E，F，G，H四点共面，故A正确，B错误； ，，即四边形是梯形，则EF与GH必相交，交点为M， 点M在上，而在平面上，则点M在平面上，同理点M在平面上， 则点M是平面与平面的公共点，而是平面与平面的交线， 所以点M一定在直线上，故C错误，D正确. 【解题总结】 平面具有三大基本性质：一、任意三点不共线则确定一个唯一平面；二、任意两条平行直线确定一个唯一平面；三、过不在同一直线上的三点，有且仅有一个平面。这些性质揭示了平面作为二维空间的基本构成单元，其存在与确定的唯一性。 题型四：等角定理 【典例4-1】已知异面直线、所成角为，过空间内一点P作直线，使l与、所成角为，则直线可能有条，则_____________. 【答案】 【解析】过点作异面直线、的平行线、， 则直线、交成、两个角； 当时，直线不存在； 当时，直线只能是直线、所夹角的平分线，故有1条； 当时，过点在空间可作2条直线与直线、均成角； 当时，直线可以是120°角的平分线，再加上前一情况的2条，此时共有3条； 当时，过点在空间可以作4条直线与直线、均成角； 当时，存在唯一一条直线与、都垂直，故有1条. 故答案为：. 【典例4-2】已知角的两边和角的两边分别平行且，则______． 【答案】或 【解析】由题意可知或 所以或 故答案为：或 【变式4-1】如图，在四棱柱中，底面是梯形，，则所有与相等的角是________． 【答案】 【解析】在四棱柱中，，并且与的方向相同， 因此，又四边形、四边形都是平行四边形，则， 所以与相等的角是. 故答案为： 【变式4-2】如图，已知直线，为异面直线，为直线上三点，，，为直线上三点，，，，，分别为，，，，的中点.若，则______.    【答案】/ 【解析】因为，分别是，的中点， 所以， 同理，，， 所以，． 又的两边和的两边的方向都相同， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式4-3】（2026·广东汕头·一模）如图，在正方体中，是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与所成的角为，则__________，__________. 【答案】 /0.5 / 【解析】在正方体中，是棱的中点， 延长与延长线交于点，连接，则直线即为直线，， 由，得，又，于是， 由平面平面，平面平面，平面平面， 则，又，因此，， 所以. 故答案为：； 【解题总结】 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 题型五：几何法求异面直线所成的角 【典例5-1】（2026·高三·上海浦东新·阶段检测）已知是正四面体，为中点，则与所成角的余弦值为______． 【答案】 【解析】设正四面体棱长为2，取AC中点N，连接MN、NS， 因为M为AB中点，则，且， 可知SM与BC所成角为（或其补角）， 在中，，， 由余弦定理可得：， 所以SM与BC所成角的余弦值为. 【典例5-2】在所有棱长均为1的正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】 【解析】连接，，交点为，连接，， ，或其补角为异面直线与所成的角， 结合题中条件，正四棱锥中，，则四边形为边长为1的正方形，每个侧面为边长为1的正三角形，则，， 在正三角形中，为的中点，则，， 则，所以， 则，故异面直线与所成角的余弦值为. 【变式5-1】在四棱锥中，平面，，且，，，，，则异面直线与所成角的余弦值_______． 【答案】/ 【解析】设直线与所成角为， 由题可知底面是梯形，， ， 因为平面，所以， 所以. 【变式5-2】（2026·湖南邵阳·模拟预测）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线和所成角的正弦值为_____ 【答案】 【解析】连接， 在正方体中，因为是的中点，是的中点， 所以，， 则，， 所以四边形为平行四边形，则， 所以（或其补角）为直线和所成角， 设正方体的棱长为2， 则， 所以， 在中，由余弦定理得， ∴ 则异面直线和所成角的正弦值为. 【变式5-3】已知三棱锥中，，且直线与所成的角为，点，分别是，的中点，则直线和所成的角为________. 【答案】60°或30° 【解析】如图，取的中点，连接，， 因为点，分别是，的中点， 所以，且，， 且，所以（或其补角）为与所成的角， 所以（或其补角）为与所成的角， 因为直线与成角，所以或， 又因为，所以， 若，则是等边三角形，所以， 即与所成的角为，若，则易知是等腰三角形， 所以，即与所成的角为， 综上可知：与所成角为或. 【解题总结】 （1）点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体（长方体、正方体）模型来判断，常借助正方体为模型． （2）求异面直线所成的角的三个步骤 一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． 二证：证明作出的角是异面直线所成的角． 三求：解三角形，求出所作的角． 题型六：共面、共线、共点问题的证明 【典例6-1】如图，已知空间四边形，点、分别是线段、的中点，点、分别在线段和线段上，且满足． (1)证明：、、、四点共面； (2)证明：、、三线共点． 【解析】（1）如图，连接，. 因为点、分别是线段、的中点，所以，. 因为，所以，，所以. 因为两条平行线可以确定一个平面，所以、、、在同一个平面上，即、、、四点共面. （2）由（1）知，，，， 所以四边形为梯形，梯形两腰必相交. 设直线与直线交于点. 因为，平面，所以平面. 因为，平面，所以平面. 因为平面平面，所以点一定在交线上，即. 所以、、交于同一点，即、、三线共点. 【典例6-2】如图，在正四棱锥中，分别为的中点，分别为棱上的一点，且，. (1)证明：四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 【解析】（1）如图所示，连接， 因为分别为的中点，所以且， 又因为分别为棱上的一点，且，，所以且， 所以且，所以四点共面. （2）由（1）知且，所以直线相交，记交点为，所以， 又因为平面，所以平面，同理可得平面， 又因为平面平面，所以，即三条直线交于一点. 【变式6-1】如图，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，E，O分别是BC，的中点，平面与平面的交线为l，连接EO并延长交l于点P，，.证明：，，P三点共线； 【解析】在直四棱柱中，平面平面，平面平面， 平面平面＝l，则，，即， 又，则，，四边形是平行四边形， 于是且，取AD中点为Q，连接、EQ， 由且，且，得且， 则四边形是平行四边形，且，又且， 因此且，即PD与共面，平面，又，平面 则平面，又平面平面，即， 所以三点共线. 【变式6-2】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，为的中点．证明：点在平面内． 【解析】证明：因为底面是平行四边形，所以 又为的中点，为的中点， 所以在中，由三角形中位线性质可得：，所以，因为两条平行线确定一个平面，所以，，，四点共面，即点在平面内. 【变式6-3】如图，在正四棱锥中，点，分别为棱，上的四等分点，且，． (1)若，，求四棱锥的体积； (2)取点，分别为，的中点，试证明三条直线，，交于一点． 【解析】（1），， 又， 正四棱锥的高， 正四棱锥的体积． （2）证明：连接， 点，分别为，的中点，，， ，，，， ，且，即四边形是梯形， 直线，相交，记交点为， ，又平面，平面， 同理可得平面，又平面平面， ，即三条直线，，交于一点. 【解题总结】 共面、共线、共点问题的证明 （1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内． （2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上． （3）证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 1．在棱长为2的正四面体中，、分别为棱、的中点，点为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示：取中点，连接、， 因为、分别为棱 、的中点，所以， 因为、分别为棱 、的中点，所以且， 所以，为异面直线与所成角， 由正四面体可得：， . 2．（2026·广西南宁·一模）如图，已知正方形是圆柱的轴截面，底面圆上的中点为，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 设正方形边长为，建立空间直角坐标系，底面圆心为原点，在轴，， 因为是的中点，所以， ，， 所以， 因为异面直线所成角的范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 3．下列说法错误的是（    ） A．三点唯一确定一个平面 B．一条直线和直线外一点唯一确定一个平面 C．平面不具有边缘，平面无限延展 D．若A、B两点均在平面内，则直线也在内 【答案】A 【解析】对于A，过不在同一直线上的三点有且只有一个平面，故A错误； 对于B，经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面，故选项B正确； 对于C，由平面的概念可知，平面不具有边缘，平面无限延展，故选项C正确； 对于D，A、B两点均在平面内，则直线也在内，故选项D正确， 4．若平面平面β，平面平面β，则α，β，γ将空间分成（    ） A．4个部分 B．5个部分 C．6个部分 D．7个部分 【答案】C 【解析】如图所示，将空间分成6个部分，C正确. 5．下列说法不正确的是（　　） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．空间不重合的三个平面可以把空间分成4或6或7或8个部分 C．三个平面两两相交，三条交线可能相交于同一点 D．四面体的三条侧棱，，两两垂直，则点在平面的射影为△的垂心 【答案】A 【解析】选项A，根据棱柱的定义要求“有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”；若仅满足“两个面平行，其他面是平行四边形”，但相邻平行四边形的公共边不平行，则不是棱柱，故错误； 选项B，若三个平面均平行，可分为4个部分；若有两个平面相互平行且第三个平面与它们相交，可分为6个部分；若三个平面相交且交线重合，可分为6个部分；若三个平面两两相交且交线两两平行，可分为7个部分；若三个平面两两相交且交线交于一点，可分为8个部分，故正确； 选项C，例如过正方体同一个顶点的三个表面的交线交于一点，故正确； 选项D，如图所示，设在平面的射影为，连接，，， 由且，，平面，得平面， 又平面，故； 因为平面，平面，故； 因，，平面，得平面， 又平面，故． 同理可得，，，即是△的垂心，故正确． 6．正方体的棱长为10，点是其表面上一点，点到直线的距离为2、到直线的距离为3，则经过点且平行于直线的直线和该正方体的表面（   ）相交． A．ABCD B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，由条件可知直线交线段于点，连接， 过点作的平行线，必与相交，那么也与平面相交. 7．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点，则过，，三点的截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分别取，，的中点，，， 连接，，，，，，，，如图所示， 在正方体中，可得且， 所以四边形为平行四边形，所以且， 又为的中点，为的中点， 所以且，且， 所以且， 同理，可证得且，且， 所以六边形为正六边形， 即正方体中，过，，三点的截面为正六边形， 又正方体的棱长为2，所以， 所以，即正六边形的边长为， 所以正六边形的面积为. 8．已知正方体的棱长为，点、分别是线段、的中点，为上靠近的三等分点，则平面与上底面相交所得的线段长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 延长与的延长线相交于点，连接交于点， 过作的平行线交于，交延长线于点，连接交于点，连接， 则多边形为平面截正方体得到的截面， 故平面与上底面相交所得的线段为. 因为，所以， 因为，，故，所以， 因为为上靠近的三等分点，且，， 所以，故，， 所以，则， 因为，，由等角定理结合图形可知， 所以，故. 9．（多选题）若，，且，则可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】已知，，， 因此要么与同向平行得到， 要么反向平行得到. 10．（多选题）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的有（    ） A．四点共面 B．三线共点 C．此三棱柱的各面所在的平面将空间分成21部分 D．在空间，到三个顶点距离相等的点的轨迹是一个平面 【答案】ABC 【解析】对于A，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以四点共面，故A正确； 对于B，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，故B正确； 对于C，先考虑侧面，3个侧面将空间分为7部分，再考虑两个底面，两个底面切割后将空间分为个部分，C正确； 对于D，到三个顶点距离相等的点的轨迹是一条经过重心且垂直于平面的直线，D错误. 11．（多选题）已知正方体的棱长为4，E为的中点，P是上的动点，则（     ） A． B．平面截正方体的截面面积为 C．的最小值为 D．过作正方体的外接球的截面，所得截面圆的面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】如图1，以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系， 则 对于A：因为，，且则，A正确； 对于B：取的中点，连接,则，,因,则, 故截面为梯形，又因，，且， 则梯形的高 则，故B错误； 对于C：如图2，将沿展开到,使之与平面共面且与在直线的两侧，则，连接，由图知，当且仅当点为与的交点时，取得最小值.在中，，，由余弦定理，， 则，即的最小值为，故C正确； 对于D：由A项建系，易得正方体外接球的球心为，半径． 过作，垂足为，如图3所示． 因，则 于是 设球心到任一过直线的截面的距离为． 因为，所以，当取过且垂直于的平面时，取得最大为， 此时球截面圆的面积最小， ，故D正确． 12．（多选题）如图，棱长为2的正方体中，，分别是棱、棱的中点，动点满足，，．下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则三棱锥的体积为定值 C．若，，则直线与直线所成角的最小值为30° D．若动点在三棱锥外接球表面上，则点的轨迹长度为 【答案】AB 【解析】对于A，因为， ，所以三点共线， 因为是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又因平面，所以，故A正确； 对于B，因为，，， ， 所以，则直线， 因为是正方体，所以， 因为平面，平面，所以平面， 则到平面的距离为定值， 又因为定值，所以为定值，故B正确； 选项C，分别取,的中点，连接， 因为，，则点的轨迹为线段, 因为，所以直线与直线所成的角为， 因,且点在上运动，易得当点与点重合时，取得最小值，故C错误； 对于D,，，， 因为，，这三条棱两两垂直， 所以三棱锥的外接球就是分别以，，为长宽高的长方体的外接球， 设三棱锥的外接球的半径为，则，解得， 因为，，，所以是平面上的动点， 又因为动点在三棱锥外接球表面上，则点的轨迹是该球面与平面的交线圆， 设三棱锥的外接球的球心为，取的中点为，连接， 是的外接圆的圆心，且平面， 因为是的中点，，所以到平面的距离为， 则点所在的圆的半径， 则点的轨迹长度为，故D错误. 13．在直三棱柱中，，，M为BC的中点，则直线与所成角的余弦值为____________． 【答案】 【解析】取 的中点 , 连接 , . 因为 为 的中点, 所以 , 且 . 在直三棱柱中, , 因此直线 与 所成角等于直线 与 的夹角. 由 , , 得 , 所以 . 又 平面 , 故 , 从而 , 即 . 同样, , , 所以 , 即 . 在 中, 由余弦定理得 . 14．一棱长为2的正四面体被一个平面所截得到的截面如图所示，其中点，，，分别是，，，的中点，则截面的面积为______. 【答案】1 【解析】由题意得分别为中平行于的中位线， 分别为中平行于的中位线， 则，所以截面为菱形， 如图，将正四面体放置在正方体中，分别是相对的两个正方形的对角线，，则. 四边形为边长为1的正方形，面积为1. 15．若平面与平面、都相交，则这三个平面的交线可能有________条．（写出所有可能结果） 【答案】1条、2条或3条 【解析】分类讨论： ① 与 、 分别相交，得到两条平行交线； 无交线， 共 条交线； ② ，且平面 经过直线 ， ，三平面共一条公共交线， 共 条交线； ③ ，且平面 不经过直线 ， 有交线：，，，三条互不重合， 共 条交线， 综上，交线可能有 条、条或 条. 16．中，，，，是的中点，是的中点，是的中点.如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得. (1)证明：、、、共面； (2)若，求三棱锥的体积； 【解析】（1）证明如下： 取的中点，的中点，连接、、， 因为、分别为、的中点，所以，， 翻折前，中，，，， 是的中点，是的中点，是的中点， 则，，，，， 翻折后，则有，，， 因为，为的中点，所以，， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 因为为的中点，所以，，故四边形为平行四边形， 所以，，故，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以、、、共面. （2）过点在平面内作，垂足为点， 翻折前，因为，翻折后，则有，， 因为、平面，，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 即是三棱锥的高． 由（1）的图，在中，，，， 由余弦定理得， 所以， 所以， 在中，，，，是的中点， 则，， 所以，， 所以三棱锥的体积为． 17．如图，正方体的棱长为4，点E、F分别为棱和的中点. (1)求异面直线EF与BC所成角的正切值； (2)求作平面CEF与正方体各面相交所得截面，保留痕迹并简要说明截面特征； 【解析】（1）取中点，连接，易知， 所以异面直线EF与BC所成角即， 由正方体特征可知平面，平面， 则，所以， 所以异面直线EF与BC的正切值为； （2）延长交于N点，连接交于H点， 并延长与延长线交于M点，连接交于G点， 连接，则五边形为所求截面， 18．如图，在直三棱柱中，分别为的中点．证明：三线共点． 【解析】由分别为的中点，得，且； 由分别为的中点，得，且， 而，所以不平行； 由分别为的中点，易知，所以确定平面； 因为不平行，延长交于一点，记作点，则，所以平面； 同理平面，即平面. 所以即为平面与平面的公共点. 又平面平面，所以； ， 即三线共点． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 目录 01思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、四个公理 3 知识点二、直线与直线的位置关系 3 知识点三、直线与平面的位置关系 4 知识点四、平面与平面的位置关系 4 知识点五、等角定理 4 03 真题回顾 5 04 经典题型归纳总结 6 题型一：判定空间两条直线是异面直线 6 题型二：截面问题 7 题型三：平面基本性质的应用 8 题型四：等角定理 10 题型五：几何法求异面直线所成的角 11 题型六：共面、共线、共点问题的证明 11 05 课后拓展精练 14 知识点一、四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据 推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据 （2）此推论是判定若干平面重合的依据 （3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据 推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面； 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据 （2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点） （3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 知识点二、直线与直线的位置关系 位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面 图形 符号 a∥b 公共点个数 1 0 0 特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 两条异面直线不同在如何一个平面内 知识点三、直线与平面的位置关系 位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线） 图形 符号 ∥ 公共点个数 无数个 1 0 知识点四、平面与平面的位置关系 位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直 图形 符号 ∥ ， 公共点个数 0 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 知识点五、等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 1．（2025·上海·高考真题）如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（   ）．    A．和； B．和； C．和； D．和． 2．（2025·上海·高考真题）已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为__________． 题型一：判定空间两条直线是异面直线 【典例1-1】将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个四面体后，直线与是异面直线的是（     ）． A． B． C． D． 【典例1-2】在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，以下四个结论中正确的为（    ） A．直线与直线平行 B．直线与直线的交点在平面上 C．直线与直线异面 D．直线与直线的交点在直线上 【变式1-1】设直线a，b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b（    ） A．平行 B．相交 C．是异面直线 D．可能相交，也可能是异面直线 【变式1-2】过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（   ） A．18对 B．24对 C．30对 D．36对 【变式1-3】如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有（    ） A．直线与直线是相交直线 B．直线与直线共面 C．直线与直线平行 D．直线与直线垂直 【解题总结】 判定空间两条直线是异面直线的方法如下： （1）直接法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过B点的直线是异面直线． （2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面． 题型二：截面问题 【典例2-1】在正三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过点，，的截面一定是（    ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【典例2-2】如图，在正三棱锥中，，.过的中点作与和都平行的平面，则该平面截三棱锥所得的截面面积为（   ） A． B．10 C． D．20 【变式2-1】已知正方体的棱长为2，P，Q分别为棱的中点，过P，Q，B作正方体的截面，则截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·青海海东·二模）如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-3】如图，正方体的棱长为1，P为的中点，Q为线段上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列四个结论： ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S的面积为； ④当时，S与的交点R满足.以上结论正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题总结】 （1）作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． （2）作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线． 题型三：平面基本性质的应用 【典例3-1】（多选题）已知四边形在平面内的平行投影为平行四边形，则四边形可能是（    ） A．平行四边形 B．梯形 C．矩形 D．空间四边形 【典例3-2】（多选题）（2026·云南·模拟预测）已知点为空间中的一点，直线过点，且与一对异面直线和均有公共点，则这样的直线可能有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【变式3-1】（多选题）下列命题正确的是（    ） A．梯形一定是平面图形 B．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行 C．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 D．若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 【变式3-2】（多选题）（2026·高三·贵州·阶段检测）如图，在空间四边形中，分别是线段的中点，分别是线段上的动点且，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．、、、四点共面，且平面 C．若，则与的交点在直线上 D．若平面，则 【变式3-3】（多选题）如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的点，且，则下列说法正确的是（    ） A．四点共面 B．与异面 C．与的交点M可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点M一定在直线上 【解题总结】 平面具有三大基本性质：一、任意三点不共线则确定一个唯一平面；二、任意两条平行直线确定一个唯一平面；三、过不在同一直线上的三点，有且仅有一个平面。这些性质揭示了平面作为二维空间的基本构成单元，其存在与确定的唯一性。 题型四：等角定理 【典例4-1】已知异面直线、所成角为，过空间内一点P作直线，使l与、所成角为，则直线可能有条，则_____________. 【典例4-2】已知角的两边和角的两边分别平行且，则______． 【变式4-1】如图，在四棱柱中，底面是梯形，，则所有与相等的角是________． 【变式4-2】如图，已知直线，为异面直线，为直线上三点，，，为直线上三点，，，，，分别为，，，，的中点.若，则______.    【变式4-3】（2026·广东汕头·一模）如图，在正方体中，是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与所成的角为，则__________，__________. 【解题总结】 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 题型五：几何法求异面直线所成的角 【典例5-1】（2026·高三·上海浦东新·阶段检测）已知是正四面体，为中点，则与所成角的余弦值为______． 【典例5-2】在所有棱长均为1的正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【变式5-1】在四棱锥中，平面，，且，，，，，则异面直线与所成角的余弦值_______． 【变式5-2】（2026·湖南邵阳·模拟预测）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线和所成角的正弦值为_____ 【变式5-3】已知三棱锥中，，且直线与所成的角为，点，分别是，的中点，则直线和所成的角为________. 【解题总结】 （1）点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体（长方体、正方体）模型来判断，常借助正方体为模型． （2）求异面直线所成的角的三个步骤 一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． 二证：证明作出的角是异面直线所成的角． 三求：解三角形，求出所作的角． 题型六：共面、共线、共点问题的证明 【典例6-1】如图，已知空间四边形，点、分别是线段、的中点，点、分别在线段和线段上，且满足． (1)证明：、、、四点共面； (2)证明：、、三线共点． 【典例6-2】如图，在正四棱锥中，分别为的中点，分别为棱上的一点，且，. (1)证明：四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 【变式6-1】如图，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，E，O分别是BC，的中点，平面与平面的交线为l，连接EO并延长交l于点P，，.证明：，，P三点共线； 【变式6-2】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，为的中点．证明：点在平面内． 【变式6-3】如图，在正四棱锥中，点，分别为棱，上的四等分点，且，． (1)若，，求四棱锥的体积； (2)取点，分别为，的中点，试证明三条直线，，交于一点． 【解题总结】 共面、共线、共点问题的证明 （1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内． （2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上． （3）证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 1．在棱长为2的正四面体中，、分别为棱、的中点，点为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 2．（2026·广西南宁·一模）如图，已知正方形是圆柱的轴截面，底面圆上的中点为，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．下列说法错误的是（    ） A．三点唯一确定一个平面 B．一条直线和直线外一点唯一确定一个平面 C．平面不具有边缘，平面无限延展 D．若A、B两点均在平面内，则直线也在内 4．若平面平面β，平面平面β，则α，β，γ将空间分成（    ） A．4个部分 B．5个部分 C．6个部分 D．7个部分 5．下列说法不正确的是（　　） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．空间不重合的三个平面可以把空间分成4或6或7或8个部分 C．三个平面两两相交，三条交线可能相交于同一点 D．四面体的三条侧棱，，两两垂直，则点在平面的射影为△的垂心 6．正方体的棱长为10，点是其表面上一点，点到直线的距离为2、到直线的距离为3，则经过点且平行于直线的直线和该正方体的表面（   ）相交． A．ABCD B． C． D． 7．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点，则过，，三点的截面的面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知正方体的棱长为，点、分别是线段、的中点，为上靠近的三等分点，则平面与上底面相交所得的线段长为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）若，，且，则可能为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的有（    ） A．四点共面 B．三线共点 C．此三棱柱的各面所在的平面将空间分成21部分 D．在空间，到三个顶点距离相等的点的轨迹是一个平面 11．（多选题）已知正方体的棱长为4，E为的中点，P是上的动点，则（     ） A． B．平面截正方体的截面面积为 C．的最小值为 D．过作正方体的外接球的截面，所得截面圆的面积的最小值为 12．（多选题）如图，棱长为2的正方体中，，分别是棱、棱的中点，动点满足，，．下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则三棱锥的体积为定值 C．若，，则直线与直线所成角的最小值为30° D．若动点在三棱锥外接球表面上，则点的轨迹长度为 13．在直三棱柱中，，，M为BC的中点，则直线与所成角的余弦值为____________． 14．一棱长为2的正四面体被一个平面所截得到的截面如图所示，其中点，，，分别是，，，的中点，则截面的面积为______. 15．若平面与平面、都相交，则这三个平面的交线可能有________条．（写出所有可能结果） 16．中，，，，是的中点，是的中点，是的中点.如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得. (1)证明：、、、共面； (2)若，求三棱锥的体积； 17．如图，正方体的棱长为4，点E、F分别为棱和的中点. (1)求异面直线EF与BC所成角的正切值； (2)求作平面CEF与正方体各面相交所得截面，保留痕迹并简要说明截面特征； 18．如图，在直三棱柱中，分别为的中点．证明：三线共点． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $