专题1.9 拓展培优2 奔驰定理与三角形的四心（Word讲义）-【金版新学案】2024高考数学大二轮专题复习与测试（新教材）

拓展培优2　奔驰定理与三角形的四心 1．奔驰定理：设O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记作SA，SB，SC，则SA·＋SB·＋SC·＝0. 2．奔驰定理在三角形四心中的具体形式： (1)O是△ABC的重心⇔SA∶SB∶SC＝1∶1∶1⇔＋＋＝0. (2)O是△ABC的内心⇔SA∶SB∶SC＝a∶b∶c⇔a·＋b·＋c·＝0. (3)O是△ABC的外心⇔SA∶SB∶SC＝sin 2A∶sin 2B∶sin 2C⇔sin 2A·＋sin 2B·＋sin 2C·＝0. (4)O是△ABC的垂心⇔SA∶SB∶SC＝tan A∶tan B∶tan C⇔tan A·＋tan B·＋tan C·＝0. 类型一　平面向量与三角形的重心 在△ABC中，非零向量，，满足＋＋＝0，则点O是△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 答案：C 解析：根据题意，设BC的中点为D，则＋＝2，若＋＋＝0，则有＝－2，则O在BC的中线AD上．同理，O在AC和AB的中线上，故O是△ABC的重心．故选C． 感悟提升 设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下结论： 1.＋＋＝0. 2.＝(＋＋)． 3．若＝λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则P一定经过三角形的重心． 4．若＝λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则P一定经过三角形的重心．　　 针对练1.在△ABC中，A＝，G为△ABC的重心，若·＝·＝6，则△ABC外接圆的半径为(　　) A． B． C．2 D．2 答案：C 解析：因为G为△ABC的重心，·＝·＝6，所以(＋)·＝6，且(＋)·＝6，所以||＝||.又A＝，所以△ABC是等边三角形，由2＋·＝18，得||2＋||·||cos＝18，解得||＝2，故||＝2，又根据正弦定理＝2R，则R＝＝＝2.故选C． 类型二　平面向量与三角形的垂心 在△ABC中，若·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 答案：D 解析：因为·＝·，所以·(－)＝0，所以·＝0，所以⊥，所以OB⊥CA，同理可得OA⊥BC，OC⊥AB．故点O是△ABC的垂心．故选D． 感悟提升 设O是△ABC的垂心，则有以下结论： 1.·＝·＝·. 2．||2＋||2＝||2＋||2＝||2＋||2. 3．若动点P满足＝λ，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的垂心．右右右　　 学生用书↓第23页 针对练2.已知O是△ABC所在平面内一点，且满足·＋||2＝·＋||2，则点O(　　) A．在AB边的高所在的直线上 B．在∠C平分线所在的直线上 C．在AB边的中线所在的直线上 D．是△ABC的外心 答案：A 解析：取AB的中点D，由题意，·(＋)＝－||2＋||2＝(＋)2－(＋)2＝2·，所以·2＝·(－2)，所以·2＝0，所以⊥，所以点O在AB边的高所在的直线上．故选A． 类型三　平面向量与三角形的内心 在△ABC中，平面内一动点P满足＝＋λ，则动点P过△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 答案：A 解析：因为，分别表示，方向上的单位向量，所以＋的方向与∠BAC的角平分线一致．因为＝＋λ，所以＝λ，所以的方向与∠BAC的角平分线一致，所以一定通过△ABC的内心．故选A． 感悟提升 设O是△ABC的内心，则有以下结论： 1．||＋||＋||＝0(或a＋b＋c＝0)，其中a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长． 2.＝λ，λ∈[0，＋∞)，则P一定经过三角形的内心．右右右　　 针对练3.在平面上有△ABC及其内一点O满足关系式：S△ OBC·＋S△OAC·＋S△OAB·＝0(奔驰定理)，若△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，现有a·＋b·＋c·＝0，则O为△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 答案：B 解析：因为＝＋，＝＋，所以a·＋b·＋c·＝a·＋b(＋)＋c(＋)＝(a＋b＋c)·＋b·＋c·＝0，所以＝，因为，分别是，方向上的单位向量，所以向量＋平分∠BAC，即AO平分∠BAC，同理BO平分∠ABC，所以O为△ABC的内心．故选B． 类型四　平面向量与三角形的外心 设O是平面ABC内一定点，P为平面ABC内一动点，若(－)·(＋)＝(－)·(＋)＝(－)·(＋)＝0，则O为△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 答案：B 解析：·(＋)＝·(＋)＝·(＋)＝0，即(－)·(＋)＝(－)·(＋)＝(－)·(＋)＝0，即有||2＝||2＝||2，则||＝||＝||，故O为△ABC的外心．故选B． 感悟提升 设O是△ABC的外心，则有以下结论： 1．||＝||＝||⇔2＝2＝2. 2．(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0. 3