专题1.8 拓展培优1 极化恒等式与等和(高)线（Word讲义）-【金版新学案】2024高考数学大二轮专题复习与测试（新教材）

拓展培优1　极化恒等式与等和(高)线 一、极化恒等式及其应用 1．极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]． (1)公式推导： ⇒a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]． (2)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. 2．平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝(|AC|2－|BD|2)． 3．三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2. (1)推导过程： ·＝2－2＝2－2＝||2－||2＝|AD|2－|BD|2. (2)三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决． (3)记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差． 类型一　利用向量极化恒等式求值 (1)如图所示，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E，O，F为线段BD的四等分点，则·＝________． (2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点.·＝4，·＝－1，则·的值为_________. 答案：(1)27　(2) 解析：(1)BD＝＝12，所以AO＝6，OE＝3，所以由极化恒等式知·＝2－2＝36－9＝27. (2)设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.根据向量的极化恒等式，得·＝2－2＝9n2－m2＝4　①，·＝2－2＝n2－m2＝－1　②，联立①②，解得n2＝，m2＝.因此·＝2－2＝4n2－m2＝.即·＝. 类型二　利用向量极化恒等式求最值或范围问题 (1)已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(＋)· 的最小值是________． (2)平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值为________． 答案：(1)－　(2)－ 解析：(1)如图所示，取OC的中点D，连接PD，因为O为AB中点，所以(＋)·＝2·，由极化恒等式得·＝2－ 2＝2－，因此当P为OC的中点，即||＝0时，(＋)·取得最小值－. (2)由向量极化恒等式知a·b＝＝≥＝－， 当且仅当|2a＋b|＝0，|2a－b|＝3，即|a|＝，|b|＝，〈a，b〉＝π时，a·b取最小值． 感悟提升 极化恒等式使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积． 如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)．　　 学生用书↓第21页 针对练1.如图，在四边形ABCD中，B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为________；若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为________． 答案：　 解析：依题意得AD∥BC，∠BAD＝120°，由·＝||·||·cos∠BAD＝－||＝－，得||＝1，因此λ＝＝.取MN的中点E，连接DE(图略)，则＋＝2，·＝[(＋)2－(－)2]＝2－2＝2－.当点M，N在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，即AB·sin B＝，因此2－的最小值为2－＝，即·的最小值为. 针对练2.如图所示，正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，·的取值范围是________． 答案：[0，2] 解析：由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2.当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径．设内切球的球心为O，则·＝2－2＝2－1.由于P为正方体表面上的动点，故OP∈[1，]，所以·∈[0，2]． 二、等和(高)线及其应用 平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线． (1)当等和线恰为直线AB时，k＝1； (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)； (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； (4)当等和线过O点时，k＝0； (5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比． (1)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，