专题1.7 重难突破4 三角形中的特殊线段问题（Word讲义）-【金版新学案】2024高考数学大二轮专题复习与测试（新教材）

重难突破4　三角形中的特殊线段问题 类型一　三角形中的中线问题 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，ccos(B－A)＋ccos C＋2bsin Acos C＝0. (1)求角C的大小； (2)若c＝4，求AB的中线CD长度的最小值． 解析：(1)因为ccos(B－A)＋ccos C＋2bsin Acos C ＝0， 所以ccos(B－A)＋ccos C＝－2bsin Acos C，即[cos(B－A)－cos(A＋B)]sin C＝－2sin B sin A cos C，整理得2sin Csin Asin B＝－2sin Bsin A·cos C． 因为A，B为三角形内角， 所以0<A<π，0<B<π，所以sin A≠0，sin B≠0， 所以sin C＝－cos C，即tan C＝－. 又因为0<C<π，所以C＝. (2)因为∠ADC＋∠BDC＝π， 所以＋＝0，整理得2CD2＝a2＋b2－8. 在△ABC中，由余弦定理得42＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2＋ab. 因为ab≤，当且仅当a＝b时取等号， 所以16＝a2＋b2＋ab≤a2＋b2＋(a2＋b2)＝(a2＋b2)，即a2＋b2≥， 所以2CD2＝a2＋b2－8≥－8＝， 即CD≥，即CD长度的最小值为. 感悟提升 1．中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)． 推导过程： 在△ABD中，cos B＝， 在△ABC中，cos B＝， 联立两个方程可得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)． 2．向量法：2＝(b2＋c2＋2bccos A)． 推导过程：由＝(＋)， 则2＝(＋)2＝2＋2＋||||cos A，所以2＝(b2＋c2＋2bccos A)． 针对练1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝acos C＋csin A，点M是BC的中点． (1)求角A的大小； (2)若a＝，求中线AM长度的最大值． 解析：(1)因为b＝acos C＋csin A，根据正弦定理得sin B＝sin Acos C＋sin Csin A， 所以sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin Csin A， 所以sin Acos C＋cos Asin C ＝sin Acos C＋sin Csin A， 所以cos Asin C＝sin Csin A． 因为sin C≠0，所以tan A＝.又0<A<π， 所以A＝. (2)在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝3. 因为bc≤，当且仅当b＝c时取等号， 所以b2＋c2≤6.因为AM是BC边上的中线， 所以＝，两边平方得||2＝(b2＋c2＋bc)≤＝××(b2＋c2)≤，当且仅当b＝c＝时取等号，此时中线AM的长度取得最大值. 类型二　 三角形中的角平分线问题 (2023·山东济南一模)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋sin2x－cos2x. (1)求f(x)的单调递减区间； (2)△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝2，b＝3，c＝2，求A的内角平分线AD的长． 解析：(1)因为f(x)＝2sin xcos x＋sin2x－cos2x＝sin 2x－cos 2x＝2sin， 令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)． (2)因为f(A)＝2sin＝2， 所以sin＝1， 因为A∈(0，π)，所以2A－∈， 所以2A－＝，所以A＝. 法一：三角形面积法： 由题意知，S△ABD＋S△ACD＝S△ABC， 所以AB·ADsin ∠BAD＋AD·ACsin ∠CAD＝AB·AC·sin ∠BAC, 所以AD＝. 法二：角平分线性质＋向量： 因为AD是角A的平分线，所以＝＝. 所以＝＋， 所以 2＝2＋2＋||||cos A， 即2＝×9＋×4＋×3×2×＝， 所以||＝. 法三：角平分线性质＋余弦定理： 因为BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A， 所以BC＝，因为AD是角A的平分线， 所以＝＝. 所以BD＝.在△ABC中，cos B＝＝， 在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B＝，所以AD＝. 法四：角平分线定理＋余弦定理(增根取舍)： 由a2＝b2＋c2－2bc·cos A得BC2＝9＋4－2×3×2×cos 60°＝7，所以BC＝， 因为＝＝，所以BD＝.在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos 30°， 所以25AD2－50AD＋72＝0， 解得AD＝ 或 AD＝(舍)， 所以AD＝. 学生用书↓第19页 感悟提升 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的