专题1.6 重难突破3 三角形中的最值或范围问题（Word讲义）-【金版新学案】2024高考数学大二轮专题复习与测试（新教材）

重难突破3　三角形中的最值或范围问题 解三角形问题中的最值或范围问题是每年高考的热点，既有小题也有解答题．常用的方法主要有：函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等． 类型一　周长(边长)的范围(最值)问题 (2023·锡山区校级月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，(2c＋b)cos A＋acos B＝0，且a＝. (1)求角A的大小； (2)求2b＋c的取值范围． 解析：(1)依题意，(2c＋b)cos A＋acos B＝0， 由正弦定理得(2sin C＋sin B)cos A＋sin Acos B＝0， 2sin Ccos A＋sin Bcos A＋sin Acos B＝0， 2sin Ccos A＋sin(A＋B)＝2sin Ccos A＋sin C＝0， 由于在三角形中，sin C>0，所以2cos A＋1＝0，cos A＝－， 所以A为钝角，所以A＝. (2)由于A＝，a＝，所以0<C<. 由正弦定理得＝＝＝＝2， 所以b＝2sin B，c＝2sin C， 所以2b＋c＝4sin B＋2sin C＝4sin＋2sin C＝4＋2sin C＝2cos C， 由于cos C∈，所以2b＋c∈(，2)． (2023·安徽阜阳模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC外接圆的直径为1，且满足________________． 在下面三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答问题． ①sin2B＋sin2C＝a2＋bc；②4S＝(S为△ABC的面积)； ③2b·cos A＝a·cos C＋c·cos A． (1)求A； (2)求△ABC周长的最大值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解析：(1)选①：由正弦定理可得sin B＝＝b，sin C＝＝c，又因为sin2B＋sin2C＝a2＋bc， 所以b2＋c2＝a2＋bc，即b2＋c2－a2＝bc， 由余弦定理，可得cos A＝＝＝， 因为0<A<π，所以A＝. 选②：因为S＝bcsin A，b2＋c2－a2＝2bccos A， 所以2bcsin A＝2bccos A，即sin A＝cos A，tan A＝， 因为0<A<π，所以A＝. 选③：由正弦定理可得，2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A，即2sin Bcos A＝sin B， 因为sin B>0，所以cos A＝， 因为0<A<π，所以A＝. (2)由正弦定理可知，a＝2Rsin A＝， 由余弦定理可得，b2＋c2－＝bc，即(b＋c)2－＝3bc， 因为bc≤2，所以(b＋c)2－≤32， 解得b＋c≤ ，当且仅当b＝c＝时等号成立， 故△ABC周长的最大值为. 感悟提升 周长范围(最值)问题的常用解法 1．无约束条件的三角形：利用基本不等式≤，再结合余弦定理求周长取值范围． 2．有约束条件的三角形：利用正弦定理a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，代入周长(边长)公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长(边长)的取值范围． 针对练1.(2023·广东江门一模)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，依次成等差数列． (1)求的值； (2)若b>c，求的取值范围． 解析：(1)由条件得：＝＋ ＝＋＝＝ ＝， 所以sin2A＝2sin Bsin C， 由正弦定理得：a2＝2bc，所以＝2. (2)因为b>c及a2＝2bc， 所以B>C，角C一定为锐角， 又△ABC为锐角三角形，所以 由余弦定理得：⇒ ⇒ 所以2bc＋c2－b2>0， 即2<1＋2，解得1－<<1＋， 又>1，所以∈(1，1＋)． 又＝＝， 令＝x∈(1，1＋)， 则＝f(x)＝， f′(x)＝＝>0， 所以f(x)在(1，1＋)上单调递增，又f(1)＝1，f(1＋)＝， 所以的取值范围是(1，)． 学生用书↓第17页 类型二　面积的范围(最值)问题 (2023·广东梅州一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin B＋bcos A＝2b. (1)求内角A； (2)点M是边BC的中点，已知AM＝2，求△ABC面积的最大值． 解析：(1)在△ABC中，因为asin B＋bcos A＝2b， 由正弦定理得sin Asin B＋sin Bcos A＝2sin B， 因为B∈(0，π)，所以sin B>0， 于是有sin A＋cos A＝2， 所以sin A＋cos A＝1，即sin＝1， 因为A∈(0，π)，所以A＋∈， 所以A＋＝，即A＝. (2)因为点M是边BC的中点， 所以＝(＋)， 对上式两边平方得： 2＝(2＋2＋2cos A)， 因为＝2，所以4＝， 即b2＋c2＋bc＝16，