专题1.5 重难突破2 三角函数中与ω，φ相关的问题（Word讲义）-【金版新学案】2024高考数学大二轮专题复习与测试（新教材）

重难突破2　三角函数中与ω，φ相关的问题 三角函数中ω，φ的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，难度中等偏上． 类型一　三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围 (1)已知函数f(x)＝cos(ω>0)且f＝f，若f(x)在区间上有最大值，无最小值，则ω的最大值为(　　) A． B． C． D． (2)(2023·山东济南一模)已知函数f(x)＝sin在上的值域为，则ω的取值范围为________． 答案：(1)D　(2)　 解析：(1)依题意，直线x＝×＝为f(x)＝cos(ω>0)图象的一条对称轴，且在x＝处f(x)取得最大值，所以ω·－＝2kπ，k∈Z，所以ω＝k＋，k∈Z.又ω>0，且f(x)在区间上有最大值，无最小值，所以T≥－＝，即≥，所以ω≤12，所以当k＝4时，ω＝＋＝为最大值．故选D． (2)当x∈时，ωx－∈，因为f(x)在上的值域为，所以≤ω－≤，解得≤ω≤，即ω的取值范围为. 感悟提升 求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围．　　 针对练1.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象与直线y＝1的相邻两个交点的距离为π，若对任意的x∈，不等式f(x)>恒成立，则φ的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：因为函数y＝f(x)的图象与直线y＝1的相邻两个交点的距离为π，所以函数y＝f(x)的最小正周期为T＝π，所以ω＝＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．当x∈时，＋φ<2x＋φ<＋φ.因为－<φ<，所以－<＋φ<，<＋φ<.又因为不等式f(x)>对任意的x∈恒成立，所以解得≤φ≤.因此φ的取值范围是.故选A． 针对练2.已知函数f(x)＝sin ωx＋acos ωx(a>0，ω>0)的最大值为2，若使函数f(x)在区间[0，3]上至少取得两次最大值，则ω的取值范围是________． 答案： 解析：f(x)＝sin ωx＋acos ωx＝sin(ωx＋φ)，因为f(x)max＝＝2，a>0，故a＝， 原式为f(x)＝2sin ，当f(x)取到最大值时，ωx＋＝＋2kπ，k∈Z，当x∈[0，3]，f(x)取得两次最大值时，k分别为0和1，当k＝1时，ωx＋＝＋2π，x＝，此时需满足≤3，解得ω≥. 学生用书↓第15页 类型二　单调性与ω，φ的取值范围 (1)(2023·山东青岛三模)将函数f(x)＝sin(ω>0)图象向左平移后，得到g(x)的图象，若函数g(x)在上单调递减，则ω的取值范围为(　　) A．(0，3] B．(0，2] C． D． (2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　) A．11 B．9 C．7 D．1 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)f(x)＝sin(ω>0)向左平移，得g(x)＝sin＝sin， x∈时，ωx＋∈，g(x)在上单调递减，即＋≤⇒ω≤，故ω∈，故选C． (2)因为x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，所以·T＝，即·＝(n∈N)，所以ω＝2n＋1(n∈N)，即ω为正奇数．因为f(x)在上单调，则－＝≤，即T＝≥，解得ω≤12.当ω＝11时，－＋φ＝kπ，k∈Z，因为|φ|≤，所以φ＝－，此时f(x)＝sin.当x∈时，∈，所以当x∈时，f(x)单调递增；当x∈时，f(x)单调递减，即f(x)在上不单调，不满足题意；当ω＝9时，－＋φ＝kπ，k∈Z，因为|φ|≤，所以φ＝，此时f(x)＝sin.当x∈时，∈，此时f(x)在上单调递减，符合题意．故ω的最大值为9.故选B． 感悟提升 若三角函数在区间[a，b]上单调递增，则区间[a，b]是该函数单调递增区间的子集，利用集合的包含关系即可求解．　　 针对练3.(2023·广西柳州模拟)若直线x＝是曲线y＝sin(ω>0)的一条对称轴，且函数y＝sin在区间上不单调，则ω的最小值为(　　 ) A．9 B．7 C．11 D．3 答案：C 解析：因为直线x＝是曲线y＝sin(ω>0)的一条对称轴，则ω－＝kπ＋，k∈Z，即ω＝4k＋3，k∈Z，由－≤ωx－≤，得－≤x≤，则函数y＝sin在上单调递增，而函数y＝sin在区间上不单调，则<，解得ω>9，所以ω的最小值为11.故选C． 针对练4.已知f(x)＝sin(2x－φ)在上单调递增，且f(x)在上有最小值，那么φ的取值范围是__________． 答案： 解析：由x∈，可得2x－φ∈，又由0<φ<，且f(x)在上单调递增，可得－φ≤，所以≤φ＜.当x∈时，2x－φ∈，由f(x)在上有最小值，可得－φ>，所以