陕西省西安市第三中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷

2023-2024学年陕西省西安三中高二（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于(    ) A. B. C. D. 2.已知数列是等差数列，记数列的前项和为，若，则(    ) A. B. C. D. 3.下列命题：，则；，则；，则；，则，其中正确命题的个数为(    ) A. B. C. D. 4.已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，若点在上，为的中点，，且，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 5.已知点，，若点到直线的距离为，点到直线的距离为，则满足条件的有条(    ) A. B. C. D. 6.如图是函数的大致图象，则(    ) A. B. C. D. 7.已知定义在上的函数，其导函数满足：对任意都有，则下列各式恒成立的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 8.定义域为的函数，若对任意两个不相等的实数，，都有，则称函数为“函数”，现给出如下函数： ； ； ； ． 其中为“函数”的有(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.对于直线：和直线：以下说法正确的有(    ) A. 直线一定过定点 B. 若，则 C. 的充要条件是 D. 点到直线的距离的最大值为 10.如图，直三棱柱中，，，是棱的中点，则(    ) A. 直线与所成角为 B. 三棱锥的体积为 C. 二面角的大小为 D. 直三棱柱外接球的表面积为 11.函数在区间上存在极值点，则整数的值为(    ) A. B. C. D. 12.已知是数列的前项和，下列结论正确的是(    ) A. 若是等差数列，则 B. 若是等比数列，则 C. 若是等差数列，则公差 D. 若是等比数列，则公比是或 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.直线的一个法向量 ______． 14.已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，点在抛物线上，直线与抛物线交于另一点，设直线，的斜率分别为，，则的值为        ． 15.设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则 ______． 16.如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为，，，，为圆上的点，、、、分别是以，，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起、、、，使得，，，重合，得到一个三棱锥，当正方形的边长为______时，三棱锥体积最大． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知动点与两个定点，的距离的比是． 求动点的轨迹的方程； 直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程． 18.本小题分 已知曲线， 求曲线在点处的切线方程； 曲线过点的切线方程； 曲线平行于直线的切线方程． 19.本小题分 如图，是的直径，，点是上的一个动点，过点作垂直所在的平面，且． 当三棱锥体积最大时，求直线与平面所成角的大小； 当点是上靠近点的三等分点时，求二面角的正弦值． 20.本小题分 已知椭圆：的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为． Ⅰ求椭圆的方程； Ⅱ已知直线与椭圆相交于、两点，且与轴，轴交于、两点． 若，求的值； 若点的坐标为，求证：为定值． 21.本小题分 各项都为整数的数列满足，，前项依次成等差数列，从第项起依次成等比数列． 求数列的通项公式； 求出所有的正整数，使得． 22.本小题分 已知函数，其中． 判断函数的单调性； 若，且当时，，证明：． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：双曲线的一个焦点坐标是，一条渐近线为， 此焦点到渐近线的距离． 故选：． 根据题意得到焦点坐标是，一条渐近线为，利用点到直线的距离公式，即可求解． 本题考查了双曲线的性质，属于基础题． 2.【答案】  【解析】解：数列是等差数列，记数列的前项和为，， ． 故选：． 利用等差数列前项和公式和等差数列通项公式能求出的值． 本题考查等差数列的前项和的求法，考查等差数列前项和公式和等差数列通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3.【答案】  【解析】解：， 则，故错误； ，则，故错误； ，则，故错误； ， 则，故正确． 故选：． 根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解． 本题主要考查导数的运算，属于基础题． 4.【答案】  【解析】解：由题意椭圆：的左顶点为，右焦点为，若点在上，为的中点，，且，如图： 而，，即，， 整理可得：，，解得， 故选：． 由椭圆的方程及题意可得的横坐标，代入椭圆方程求出的纵坐标，由正切值及，，的关系