江苏省常州市2023-2024学年高一上学期期末数学试卷

2023-2024学年江苏省常州市高一(上)期末数学试卷 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.( ) A. B. C. D. 2.设全集,集合,,则( ) A. B. C. D. 3.已知幂函数的图象经过点,则( ) A. 为偶函数且在区间上单调递增 B. 为偶函数且在区间上单调递减 C. 为奇函数且在区间上单调递增 D. 为奇函数且在区间上单调递减 4.已知扇形的周长为,圆心角为,则扇形的面积为( ) A. B. C. D. 5.设,,都是正数,且,记,,则( ) A. B. C. D. 与的大小与的取值有关 6.“函数在区间上单调递增”的充要条件是( ) A. B. C. D. 7.将正弦曲线向左平移个单位得到曲线,再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线,最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的倍得到曲线的若曲线恰好是函数的图象,则在区间上的值域是( ) A. B. C. D. 8.已知函数的定义域为,若存在,,满足,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 9.若函数其中且的图象过第一、三、四象限,则( ) A. B. C. D. 10.下列不等式中,正确的有( ) A. B. C. D. 11.若函数对于任意,,都有,则称具有性质下列函数中,具有性质的有( ) A. B. C. D. 12.已知函数其中,均为常数,且,恰能满足下列个条件中的个: 函数的最小正周期为; 函数的图象经过点; 函数的图象关于点对称; 函数的图象关于直线对称. 则这个条件的序号可以是( ) A. B. C. D. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 13.已知函数,则 _. 14.已知为第二象限角,且满足,则 _. 15.已知在中,,,若的内接矩形的一边在边上,则该内接矩形的面积的最大值为_. 16.设,分别为定义在上的奇函数和偶函数,若,则曲线与曲线在区间上的公共点个数为_. 四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.本小题分 计算:; 已知,计算的值并证明. 18.本小题分 设集合,集合,集合. 求; 当时,求函数的值域. 19.本小题分 在平面直角坐标系中,角的始边为轴的非负半轴,终边经过第四象限内的点,且. 求的值; 求的值. 20.本小题分 已知函数,其中,. 当时,求在区间上的最值及取最值时的值; 若的最小值为,求. 21.本小题分 已知结论:设函数的定义域为,,,若对恒成立,则的图象关于点中心对称,反之亦然特别地,当时,的图象关于原点对称,此时为奇函数设函数. 判断在上的单调性,并用函数单调性的定义证明; 计算的值,并根据结论写出函数的图象的对称中心; 若不等式对恒成立,求实数的最大值. 22.本小题分 已知,,. 若为奇函数,求的值,并解方程; 解关于的不等式. 答案和解析 1.【答案】 【解析】解:. 故选:. 利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解. 本题考查了诱导公式以及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题. 2.【答案】 【解析】解:因为,, 则. 故选:. 先求出集合,然后结合集合的基本运算即可求解. 本题主要考查了集合的基本运算,属于基础题. 3.【答案】 【解析】解:设幂函数为, 幂函数的图象经过点, 则,解得, 故, 所以为偶函数且在区间上单调递减. 故选:. 根据已知条件,结合幂函数的定义和性质,即可求解. 本题主要考查幂函数的定义与性质,属于基础题. 4.【答案】 【解析】解:令扇形的半径为, 则,解得, 所以扇形的面积. 故选:. 由题意利用扇形的弧长公式以及面积公式即可求解. 本题主要考查了扇形的弧长公式以及面积公式的应用,属于基础题. 5.【答案】 【解析】解:由,,,且, 可得,所以,项符合题意. 故选:. 根据题意通过作差比较大小,得出、的大小关系,从而判断出正确答案. 本题主要考查不等式的基本性质、利用作差比较两个实数的大小等知识,属于基础题. 6.【答案】 【解析】解:, , 令,解得, 函数在上单调递减,在上单调递增. “函数在区间上单调递增”的充要条件是. 故选:. 利用导数研究函数的单调性即可得出结论. 本题考查了利用导数研究函数的单调性、充要条件,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 7.【答案】 【解析】解:将正弦曲线向左平移个单位得到曲线:的图象; 再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线:的图象; 最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的倍得到曲线的:的图象. 由于曲线恰好是函数的图象. 在区间上,,,. 故在区间上的值域是. 故