2024年中考专题复习 建模思想应用的常见类型归类 同步练 讲义

建模思想应用的常见类型归类 点石成金 数学建模思想是人类用数学知识探索自然和实际应用的一种最有效的方法，也是数学应用于科技和社会的最基本途径； 它是对现象和过程进行合理的抽象和量化，然后用数学知识进行模拟和验证的一种模式化思维；初中数学建模，就是用初中所学的数学知识在数学和实际问题之间构建一个桥梁，便于把实际问题用数学问题表示出来，这个桥梁就是数学模型，构建这个桥梁的思维方法就是数学建模思想. 典型例题剖析 例．为解决楼房之间的挡光问题，某地区规定：两幢楼房间的距离至少为40米，中午12时不能挡光．如图，某旧楼的一楼窗台高1米，要在此楼正南方40米处再建一幢新楼．已知该地区冬天中午12时阳光从正南方照射，并且光线与水平线的夹角最小为30°，在不违反规定的情况下，请问新建楼房最高　 　米．（结果精确到1米．1.732，1.414） 分析：在不违反规定的情况下，需使阳光能照到旧楼的一楼；据此构造Rt△DCE，其中有CE＝30米，∠DCE＝30°，解三角形可得DE的高度，再由DB＝BE+ED可计算出新建楼房的最高高度． 解：过点C作CE⊥BD于E． ∵AB＝40米， ∴CE＝40米， ∵阳光入射角为30°， ∴∠DCE＝30°， 在Rt△DCE中tan∠DCE． ∴， ∴DE＝40米， ∵AC＝BE＝1米， ∴DB＝BE+ED＝1米． 答：新建楼房最高约为24米． 故答案为：24 分类训练 类型1 建立方程模型求几何图形面积 1．将两张完全相同的矩形纸片ABCD，矩形纸片FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG． （1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由； （2）若四边形DHBG的面积为15，AD＝3，求AB的长． 分析：（1）根据矩形的性质得出∠A＝∠E＝90°，AD＝ED，AB＝EB，根据全等三角形的判定得出△DAB≌△DEB，根据全等三角形的性质得出∠ABD＝∠EBD，求出DH＝BH，再根据菱形的判定推出即可； （2）根据菱形的性质和已知菱形的面积求出BH，求出DH＝BH＝5，根据勾股定理求出AH，再求出答案即可． 类型2 建立几何模型解释生活中现象 2．如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离 　　 变化（用“发生”或“不发生”填空）．理由是 。 分析：根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OPAB＝a，即可得出答案． 类型3 建立特殊四边形模型探寻条件 4．如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△BCA的外角∠ACG的平分线于点F． （1）探究OE与OF的数量关系并加以以证明； （2）连接BE，BF，当点O在边AC上运动时，四边形BCFE可能为菱形吗？若可能，请证明；若不可能，请说明理由； （3）连接AE，AF，当点O在AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由； （4）在（3）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由． 分析：（1）根据平行线和角平分线的定义可说明EO＝CO，FO＝CO，从而得出结论； （2）由角平分线和平角的定义知CF⊥CE，若四边形BCFE为菱形，则BF⊥CE，则四边形BCFE不可能为菱形； （3）首先由对角线互相平分可知四边形AECF是平行四边形，且∠ECF＝90°，即可证明结论； （4）由（3）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，只要∠ACE＝∠BCE＝45°时，四边形AECF是正方形，从而解决问题． 类型4 建立方程模型解实际应用 4．“双减”政策倡导学生合理使用电子产品，控制使用时长，防止网络沉迷．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？ :分析：设每台学习机售价为x元，则每台学习机的销售利润为（x﹣1000）元，每天可售出（40）台，利用商店每天销售该品牌学习机获得的利润＝每台的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 类型5 建立函数模型解图像信息的应用 5．加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元