2024年中考 数学专题复习 成比例线段的证明和计算的五种常用作辅助线的方法讲义

成比例线段的证明和计算的五种常用作辅助线的方法 点石成金 在与比例有关的几何证明、计算的过程中、 常常需要通过平行线分线段成比例、相似三角形对应边成比例得到比例关系.而有些题中，这样的平行线、 相似三角形并不是十分明显.因此，我们需要通过添加辅助线，构造平行线或相似三角形，进而证明所需要的比例式. 经典例题剖析 如图所示，AD是△ABC的中线． （1）若E为AD的中点，射线CE交AB于F，求； （2）若E为AD上的一点，且，射线CE交AB于F，求． 分析：（1）作DG∥CF交AB于G，由平行线分线段成比例定理得出FG＝BG，BF＝2FG，AF＝FG，得出AF＝FG＝BG，即可得出结果； （2）作DG∥CF交AB于G，由平行线分线段成比例定理得出FG＝BG，BF＝2FG，，即可得出结果． 解：（1）作DG∥CF交AB于G，如图1所示： ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵DG∥CF， ∴FG＝BG，BF＝2FG， ∵E为AD的中点， ∴AF＝FG， ∴AF＝FG＝BG， ∴； （2）作DG∥CF交AB于G，如图2所示： ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵DG∥CF， ∴FG＝BG，BF＝2FG，， ∴． 分类训练 方法1 作平行线 1．如图，已知△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，BE＝AD，ED和AB相交于点F，求证：EF：FD＝AC：BC． 分析：如图，作辅助线；证明△ADG∽△ACB；△DGF∽△EBF，列出比例式变形、比较，即可解决问题． 2．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于E，交BC的延长线于F，求证：AE•CF＝BF•EC． 分析：过C作CG∥AB交DF于G，于是得到△GCF∽△DBF，△GCE∽△ADE，得到，，通过等量代换即可得到结论． 方法2 作垂线 3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上． （1）求BC边上的高； （2）求正方形EFGH的边长． 分析：（1）由勾股定理求出BC＝25cm，再由三角形面积即可得出答案； （2）设正方形边长为x，证出△AEH∽△ABC，得出比例式，进而得出答案． 方法3 作延长线 4．如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是CD的中点，AE的延长线交BC于点F，FG⊥AB于点G，求证：FG2＝FC•FB． 分析：延长AC，GF相交于点H，可得到△HCF∽△BGF，由相似的性质得到，即CF•BF＝FG•HF，然后只要证明FG＝HF即可． 方法4 作中线 5．如图：△ABC中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD＝DC＝EC＝1，求AC． 分析：过点D作DF⊥BC于点F由BD＝CD可知DF为BC的垂直平分线，故BC＝2FC，再由相似三角形的判定定理得出△DFC∽△BAC，△DFC∽△AEC，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 方法5 作相似三角形 6．如图，直线DF分别交的BC，AB两边于D，E，与CA 的延长线交于F，若 求 的值. 略解：如图，过点D作AB 的平行线交 AC 于 易得△ 学科网（北京）股份有限公司 $$