2024年中考 数学专题复习 证比例式或等积式的七种技巧 讲义

证比例式或等积式的七种技巧 点石成金 证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段.若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中， 可尝试证这两个三角形相似；若不在两个三角形中，可先将它们转化到两个三角形中，再证这两个三角形相似；若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换. 经典例题解剖 例 如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为CB的中点，ED的延长线交CA的延长线于点F． 求证：AC•CF＝CB•DF． 分析：先证明△FDA∽△FCD，得出，再证明△ACD∽△CBD，可得，即可解答． 证明：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°， ∵E为CB的中点， ∴CE＝EB＝DEBC， ∴∠B＝∠BDE， ∵∠BDE＝∠ADF， ∴∠B＝∠ADF， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠CAB＝90°， ∵∠ACD+∠CAB＝90° ∴∠B＝∠ACD， ∴∠ADF＝∠ACD， 又∵∠F＝∠F， ∴△FDA∽△FCD， ∴， ∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∠ACD＝∠B， ∴△ACD∽△CBD， ∴， ∴， 即AC⋅CF＝CB⋅DF． 分类训练 技巧1 构造平行线法 1．三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比． 已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线． 求证：． 分析：由比例式，想到作平行线，用到了平行线的性质；只要证明AE＝AC即可，用到了等腰三角形的判定定理，由CE∥AD，写出比例式，用到了平行线分线段成比例定理（推论）； 技巧2 三点定型法 2．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ•AB．求证： （1）∠CAE＝∠BAF； （2）CF•FQ＝AF•BQ． 分析：（1）利用SAS证明△ACE≌△ABF即可得出结论； （2）先证△ACE∽△AFQ可得∠AEC＝∠AQF，求出∠BQF＝∠AFE，再证△CAF∽△BFQ，利用相似三角形的性质即可得出结论． 3．已 知：如 图，在中, AB的垂直平分线交AB于D，交AC 于E，交BC的延长线于F，求证： 技巧3 构造相似三角形法 4．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N．求证：BP•CP＝BM•CN． 分析：连接PM，PN，证明△AMN≌△PMN，再证△MPB∽△PNC，即可得出结论． 技巧4 等比过渡法 5．已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试判断成立吗？并说明理由． 分析：首先由DE∥BC，得，根据EF∥AB，得，根据等式的传递性即可证明结论． 6．如 图，在中， E是AC的中点，延长ED，交AB的延长线于点F，求证： 技巧5 两次相似法 7．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠B的平分线BE交AC于E，交AD于F．求证：． 分析：首先得出利用已知得出△BDF∽△ABE，进而得出∠BAD＝∠C，则sin∠C＝sin∠BAD，即可得出答案． 技巧6 等积代换法 8．如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，BG⊥AP垂足为G，交CE于D， 求证：CE2＝PE•DE． 分析：首先证Rt△ACE∽Rt△CBE，得出CE2＝AE•BE（即射影定理）；再通过证△AEP∽△BED，得出PE•DE＝AE•BE，联立上述两式即可得出本题要证的结论． 技巧7 等线段代换法 9．已知：如图，在菱形ABCD中，BE＝DF，DE和CB的延长线相交于G． 求证：（1）△ADE≌△CBF；（2）． 分析：（1）首先由菱形ABCD的性质得到AD＝BC，∠A＝∠C，又BE＝DF，由此得到AE＝CF，然后利用全等三角形的判定方法即可证明△ADE≌△CBF； （2）由（1）得到DE＝BF，根据菱形性质得到AB∥CD，然后利用平行线分线段成比例得到，接着即可证明题目结论． 10．如图，在中，AD平分AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E， 求证： 分析：观察图形发现，乘积式中的线段都在同一条直线上，无法直接利用“三点定形法”找三角形，连接AE，易得，将乘积式中的DE换成AF即可找出，和，证明这两个三角形相似即可。 学科网（北京）股份有限公司 $$