黑龙江省哈尔滨德强高级中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高三（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知向量，，若，则(    ) A. B. C. D. 3.已知，则(    ) A. B. C. D. 4.双曲线的焦点到渐近线的距离为(    ) A. B. C. D. 5.已知贵州某果园中刺梨单果的质量单位：服从正态分布，且，若从该果园的刺梨中随机选取个单果，则质量在的单果的个数的期望为(    ) A. B. C. D. 6.等比数列的前项和为，，则“”是“对，”成立的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7.如图，正三棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 8.已知函数的定义域为，且满足，在处取极值，则下列说法中正确的是(    ) A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在处取极小值 D. 的最大值为 二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.数列为等差数列，为其前项和，已知，，则(    ) A. B. C. D. 10.已知，是不同的直线，，是不重合的平面，则下列命题中，真命题有(    ) A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 11.对数的发明是数学史上的重大事件我们知道，任何一个正实数可以表示成的形式，两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值如下表，下列结论正确的是(    ) 真数 近似值 真数 近似值 A. 在区间内 B. 是位数 C. 若，则 D. 若是一个位正整数，则 12.如图，有一组圆都内切于点，圆：，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是(    ) A. 圆的圆心都在直线上 B. 圆的方程为 C. 若圆与轴有交点，则 D. 设直线与圆在第二象限的交点为，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.已知复数其中是虚数单位，则 ______． 14.中，，，则的面积为______． 15.在二项式的展开式中，的系数是______． 16.如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽，杯深，称为抛物线酒杯．在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为______单位： 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知的三个内角，，所对的边分别为，，，且，． 求的值； 若的面积，求的值． 18.本小题分 已知为数列的前项和，且满足 求数列的通项公式； 记，求数列的前项和． 19.本小题分 如图，在三棱锥中，，底面． 求证：平面平面； 若，，是的中点，求与平面所成角的正切值． 20.本小题分 如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为，，，其中号箱装有个黑球和个白球，号箱装有个黑球和个白球，号箱装有个黑球，这些球除颜色外完全相同小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件表示“球取自第号箱”，事件表示“取得黑球”． 求的值； 若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由． 21.本小题分 设动圆与圆：外切，与圆：内切． Ⅰ求点的轨迹的方程； Ⅱ过点且不与轴垂直的直线交轨迹于，两点，点关于轴的对称点为，为的外心，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 22.本小题分 已知函数． 证明：有唯一的极值点； 若，求的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：解，得：， 所以， 又因为， 所以． 故选：． 解不等式求出集合，根据集合的交集运算，即可得答案． 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题． 2.【答案】  【解析】解：，，， 则，解得． 故选：． 根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解． 本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题． 3.【答案】  【解析】解：，则． 故选：． 直接利用诱导公式化简求解即可． 本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力． 4.【答案】  【解析】解：由题得：其焦点坐标为渐近线方程为 所以焦点到其渐近线的距离． 故选：． 先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论． 本题给出双曲线的方程，求它的焦点到渐近线的距离．着重