2024年中考 数学 专题复习 根的判别式的八种常见应用讲义

根的判别式的八种常见应用 点石成金 1.对于一元二次方程 判别式的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定字母的值或取值范围. 2.对于反比例函数与一次函数的图象的公共点问题，可转化为一元二次方程根的情况 ，用判别式来辅助计算.判别式大于0，则有两个公共点； 判别式等于0，则有一个公共点； 判别式小于0，则没有公共点. 经典例题剖析 已知关于x的方程x2+（2m+1）x+m（m+1）＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）已知方程的一个根为x＝0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值． 分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出Δ＝1＞0，由此即可证出方程总有两个不相等的实数根； （2）讲x＝0代入原方程求出m的值，再将m值代入代数式中求值即可． 解答（1）证明：∵在方程x2+（2m+1）x+m（m+1）＝0中，Δ＝（2m+1）2﹣4m（m+1）＝1＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵x＝0是此方程的一个根， ∴把x＝0代入方程中得到m（m+1）＝0， ∴m＝0或m＝﹣1， ∵（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5＝4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5＝3m2+3m+5， 把m＝0代入3m2+3m+5中，得：3m2+3m+5＝5； 把m＝﹣1代入3m2+3m+5中，得：3m2+3m+5＝3×1﹣3+5＝5． 分类训练 应用1 利用根的判别式判断含字母系数的方程的根的情况 1．已知方程x2﹣2x﹣m＝0没有实数根，其中m是实数，试判定方程x2+2mx+m（m+1）＝0有无实数根． 应用2 利用根的判别式求方程中待定字母的值或取值范围 2．已知关于x的方程x2﹣6x+4﹣m＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m取满足条件的最小整数值时，求此时方程的解． 应用3 利用定义法解方程与函数问题 3．已知：关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0（k是整数）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），设y＝x2﹣x1，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由． 应用4 利用根的判别式求方程的整数解问题 4．已知关于x的方程mx2+（3﹣m）x﹣3＝0（m为实数，m≠0）． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值． 应用5 利用根的判别式确定三角形的形状 5．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根； 应用6 利用根的判别式解反比例函数图象与一次函数图象有一个交点问题 6．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，18）和B（﹣2，8）两点． （1）求一次函数的解析式； （2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y（m≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+4 与x轴、y轴分别交于A，B两点．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线交于点C．反比例函数y（k≠0）的图象经过BC的中点D． （1）求反比例函数的解析式； （2）将直线l1向上平移m个单位长度得到直线l2（m＞0），若直线l2与反比例函数 y（k≠0）的图象只有一个交点，求m的值． 应用7 利用根的判别式解反比例函数图象与一次函数图象有交点问题 8．如图，过点C（1，2）分别作x轴，y轴的平行线，交直线y＝﹣x+6于点A，B，若反比例函数y（x＞0）的图象与△ABC有公共点，求k的取值范围． 应用8 利用根的判别式解反比例函数图象与一次函数图象无交点问题 9．已知一次函数y＝mx﹣3m（m≠0）和反比例函数的图象如图所示． （1）一次函数y＝mx﹣3m必定经过点 　 　．（写点的坐标） （2）当m＝﹣2时，一次函数与反比例函数图象交于点A，B，与x，y轴分别交于点C，D，连接BO并延长，交反比例另一支于点E，求出此时A，B两点的坐标及△ABE的面积． （3）直线y＝mx﹣3m绕点C旋转，直接写出当直线与反比例图象无交点时m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$