北京市育才学校2021-2022学年高三上学期12月月考数学试卷

2021-2022学年北京育才学校高三12月月考 数 学 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1．（4分）已知全集，集合，，则　　 A． B．， C． D．， 2．（4分）在复平面内，复数对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（4分）下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间内有零点的函数是　　 A． B． C． D． 4．（4分）设抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，是上一点．若，则　　) A． B．5 C． D． 5．（4分）设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（4分）定义：将24小时内降水在平地上积水厚度来判断降雨程度；其中小雨，中雨，大雨，暴雨；小明用一个圆锥雉形容器接了24小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级　　 A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 7．（4分）定义在上函数，若，（1），，则　　 A． B． C． D． 8．（4分）平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为　　 A．5 B．4 C．3 D．2 9．（4分）设函数，若关于的方程有四个实数解，2，3，，其中，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D． 10．（4分）如图，在棱长为2的正方体中，点是该正方体对角线上的动点，给出下列四个结论： ①； ②面积的最大值是； ③面积的最小值是； ④当时，平面平面． 其中正确的个数是　　 A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．（5分）在的展开式中，常数项为 　　． 12．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，则双曲线的渐近线方程为　　；　　． 13．（5分）若等差数列和等比数列满足，，，试写出一组满足条件的数列和的通项公式：　　，　　． 14．（5分）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与圆交于点，，将射线按逆时针方向旋转后与圆交于点，．当时，　　；当为锐角时，的取值范围是　　． 15．（5分）某生物种群的数量与时间的关系近似地符合．给出下列四个结论： ①该生物种群的数量不会超过10； ②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小； ③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比； ④该生物种群数量的增长速度最大的时间． 根据上述关系，其中所有正确结论的序号是 　　． 三、解答题：本大题共6小题，共85分. 16．（14分）在锐角中，角，，的对边分别为，，，设的面积为，已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求与的值． 条件①：；条件②：；条件③：． 17．（13分）某日，，三个城市18个销售点的小麦价格如表： 销售点序号 所属城市 小麦价格（元吨） 销售点序号 所属城市 小麦价格（元吨） 1 2420 10 2500 2 2580 11 2460 3 2470 12 2460 4 2540 13 2500 5 2430 14 2500 6 2400 15 2450 7 2440 16 2460 8 2500 17 2460 9 2440 18 2540 （Ⅰ）甲以市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从市4个销售点中随机挑选2个了解小麦价格．记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为，求的分布列及数学期望； （Ⅱ）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大．请你对，，三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）． 18．（15分）如图，垂直于梯形所在的平面，．为中点，，．四边形为矩形，线段交于点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 19．（15分）已知，其中． （1）若函数在处的切线与轴平行，求的值； （2）求的单调区间和极值点； （3）若在，上的最大值是0，求的取值范围． 20．（14分）已知椭圆的右焦点为，且经过点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设为原点，直线与椭圆交于两个不同点、，直线与轴交于点，直线与轴交于点．若，求证：直线经过定点． 21．（14分）已知数列满足：，，且，2，，记集合． （Ⅰ）若，写出集合的所有元素； （Ⅱ）如集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合的元素个数的最大值． 参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1．【分析】求出集合，利用并集的定义直接求出．