北京市育才学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

2023-2024学年北京育才学校高二上10月月考 数 学 一、选择题（每小题4分，8道小题,共32分） 1. 空间任意四个点A，B，C，D，则 =(　　) A.         B.         C.         D. 2. 若ABC在空间直角坐标系中的位置及顶点坐标如图所示，则BC边上的中线的长是(　　)． A. B.2 C. D.3 3. 若不重合的平面α与β的法向量分别是=(1，0，-2)，=(-1，0，2)，则平面α与β的位置关系是(　　) A.平行    B.垂直    C.相交不垂直    D.无法判断 4. 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，N是A1B的中点，若，则=(　　) A. B. C. D. 5. 在空间直角坐标系中，P(3，-2，1)，则点P关于坐标平面xOz的对称点的坐标为(　　) A.(-3，-2，-1) B.(3，2，1) C.(-3，2，-1) D.(3，-2，-1) 6. 向量＝(2，4，x)，＝(2，y，2)，若||＝6，且 ，则x+y的值为（　　） A.﹣3 B.1 C.﹣3或1 D.3或1 7. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为(　　) A. B. C. D. 8. 已知=(2，-1，3)，=(-1，4，-2)，=(3，2，λ)，若 、 、三向量共面，则实数λ等于(　　) A.2    B.3    C.4    D.5 二、填空题（每小题4分，5道小题,共20分） 9. 设{，，}是空间向量的一个单位正交基底，，，则的坐标是_______． 10. 设 =(3，5，-4)，=(2，-1，-2)，计算=______． 11. 已知A(3，5，-7)，B(-1，3，3)，且，则C点的坐标为_______． 12.在如图所示的坐标系中，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，给出下列结论： ①直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)； ②直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)； ③平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)； ④平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)． 其中正确结论的序号为____________. 三、解答题（共4道小题,共48分） 13.（12分）如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，点F在棱PA上． (1) 求证：PA∥平面CDE； （4分） (2) 平面PAB∥平面CDE；（4分） (3) 求证：BF⊥AD.（4分） 14. （12分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，A1C1的中点． (1) 求异面直线BD与CF所成角的大小；（6分） (2) 求异面直线AE与CF所成角的余弦值．（6分） 15.（12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1=AC=BC=2，∠ACB=90°， D，E分别是A1B1，CC1的中点． (1) 求直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值；（4分） (2) 求平面A1BE与平面BC1D所成锐二面角的余弦值．（4分） 16.（12分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1，中，底面ABCD是正方形，平面A1ADD1⊥平面ABCD，AD=2，AA1=A1D．  (1) 求证：A1D⊥AB；（5分） (2) 若直线AB与平面A1DC1所成角的正弦值为，求AA1的长度．（7分） 北京育才学校2023-2024学年度第一学期 高二数学十月月考试卷 一、选择题（每小题4分，8道小题,共32分） 1.【正确答案】 D  【答案解析】方法一：．  · 方法二：． 2.【正确答案】 C  【答案解析】A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，BC中点坐标为(1,1,0)，由距离公式得.故选C. 3.【正确答案】 A  【答案解析】∵=(1，0，-2)，=(-1，0，2)， ∴=(1-1，0+0，-2+2)=(0，0，0)，即. 由此可得 ∵ 、分别是平面α与β的法向量 ∴平面α与β的法向量平行，可得平面α与β互相平行． 4.【正确答案】 B  【答案解析】取AB的中点D，连接CD，DN(如图)，，故选B. 5.【正确答案】 B  【答案解析】本题考查空间中点的对称．因为点P关于坐标平面xOz对称，所以对称点的横坐标、竖坐标不变，纵坐标变为相反数，所以对称点的坐标为(3，2，1)． 6.【正确答案】 C  【答案解析】∵，且，∴，4+4y+2x＝0， 解得，或．则x+y＝﹣3或1． 7