9.1.2　余弦定理 导学案——2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

人教B版必修四 9．1.2　余弦定理 导学案 （原卷+答案） 课程标准 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理． 2．能用余弦定理解决简单的实际问题． 新知初探·自主学习——突出基础性 教 材 要 点 知识点一　余弦定理 (1)三角形任何一边的________等于其他两边的________减去这两边与它们________的余弦的积的________，即a2＝______________，b2＝____，c2＝______________． (2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题． ①已知三边，求________． ②已知________和它们的________，求第三边和其他两个角． 知识点二　余弦定理的变形 (1)余弦定理的变形： cos A＝________________； cos B＝________________； cos C＝________________． (2)利用余弦定理的变形判定角： 在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔∠C为________；c2>a2＋b2⇔∠C为________；c2<a2＋b2⇔∠C为________. 基 础 自 测 1．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，则cos C的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 2．在△ABC中，若a＝3，c＝7，∠C＝60°，则b为(　　) A．5 B．8 C．5或－8 D．－5或8 3．在△ABC中，a＝1，b＝，c＝2，则∠B＝________． 4．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则∠A＝________． 课堂探究·素养提升——强化创新性 题型1　已知两边及一角解三角形 例1　已知△ABC，根据下列条件解三角形： a＝，b＝，∠B＝45°. 方法归纳 已知两边及一角解三角形有以下两种情况： (1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角． 跟踪训练1　在△ABC中，已知a＝4，b＝6，∠C＝120°，则边c＝________． 题型2　已知三边或三边关系解三角形 例2　(1)已知△ABC的三边长为a＝2，b＝2，c＝，求△ABC的各角度数； (2)在△ABC中，a＋c＝6，b＝2，cos B＝，求a，c的值． 方法归纳 (1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解． (2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形． 跟踪训练2　(1)在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则∠A＝(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° (2)在钝角△ABC中，∠B>90°，a＝2x－5，b＝x＋1，c＝4，则x的取值范围是________． 题型3　利用余弦定理判断三角形的形状(逻辑推理) 【思考探究】　1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2，则sin2A＝sin2B＋sin2C成立吗？反之，说法正确吗？为什么？ [提示]　设△ABC的外接圆半径为R. 由正弦定理的变形，将a＝2R sinA，b＝2R sin B，c＝2R sin C，代入a2＝b2＋c2可得sin2A＝sin2B＋sin2C.反之，将sinA＝，sin B＝，sin C＝代入sin2A＝sin2B＋sin2C可得a2＝b2＋c2.因此，这两种说法均正确． 2．在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则∠C＝成立吗？反之，若∠C＝，则c2＝a2＋b2成立吗？为什么？ [提示]　因为c2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的变形cosC＝＝0，即cos C＝0，所以∠C＝，反之，若∠C＝，则cos C＝0，即＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2. 例3　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2<c2，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 (2)在△ABC中，若(a－c·cos B)sin B＝(b－c·cos A)·sin A，判断△ABC的形状． 方法归纳 1．用转化思想解决利用三角形的边角关系判断三角形形状的两条思考路径 利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化的思想解决这类问题，一般有两条思考路线： (1)化边为角，再进行三