考点13 二次函数的应用（精讲）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）

考点13. 二次函数的应用（精讲） 【命题趋势】 二次函数的应用在中考中较为常见，其中二次函数在实际生活中的应用多为选填题，出题率不是特别高，一般需要根据题意自行建立二次函数模型；而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据较大，还需根据实际情况判断所求结果是否有合适，需要考生在做题过程中更为细心对待。 【知识清单】 1：二次函数的实际应用（☆☆） 1）用二次函数解决实际问题的一般步骤： （1）审：仔细 审题 ，理清 题意 ； （2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的 未知数 ； （3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的 解析式 ； （4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； （5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论。 2）利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 3）利用二次函数解决拱桥（门）/隧道/喷泉/球类运行轨迹类问题的方法：先建立适当的 平面直角坐标系 ，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线的解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 4）利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量及范围，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 5）利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的 坐标 或表示出与动点有关的线段 长度 ，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算。 2：二次函数的几何问题（☆☆☆） 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立 二次函数 的模型，从而使问题得到解决解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的。 1）二次函数与几何图形的长度（面积）问题 二次函数与几何图形的长度（面积）问题一般是利用距离或面积公式表示出图形长度（面积）的函数关系式（一般是二次函数的表达式），再利用函数的解析式的特点求长度（面积）的最值问题；此外还会涉及到长度（面积）相等、给出长度（面积）的值等问题，其核心处理方法都是表示出长度（面积）的表达式，再去研究相关的性质。 2）二次函数与特殊三角形 （1）在二次函数的图象中研究等腰三角形问题，需要注意分类讨论思想的应用，找准顶确与底角分类讨论的关键，借助等腰三角形的等边对等角、等角对等边、三线合一等性质来转化已知条件是常用的处理手段； （2）在二次函数的图象中研究直角三角形问题，需要注意分类讨论思想的应用，找准直角顶点是分类讨论的关键，借助直角三角形的勾股定理，两锐角互补等性质来转化已知条件是常用的处理手段。 3）二次函数特殊平行四边形 在二次函数的图象中研究平行四边形的问题常会用到平行四边形的一些性质之间的转化，同时此类问题也会涉及到矩形、菱形、正方形的确定，其分析思想是互通的。 4）二次函数与线段和、差的最值问题 在二次函数的图象中研究线段的和、差最值问题,一般会用到将军饮马、胡不归、阿氏圆、瓜豆原理等来解决相关最值问题。 5）利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的 坐标 ；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段 长度 或其他点的 坐标 等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在。 【易错点归纳】 1. 二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 【核心考点】 核心考点1.二次函数的实际应用 例1：（2023年江苏省泰州市中考数学真题）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售；一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于1750千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润y（元）与一次性销售量x（千克）的函数关系如图所示．    (1)当一次性销售800千克时利润为多少元？(2)求一次性销售量在之间时的最大利润； (3)当一次性销售多少千克时利润为22100元？ 变式1.（2023年浙江省