9.2 正弦定理与余弦定理的应用导学案-2023-2024学年高一数学下学期人教B版（2019）必修第四册

人教B版必修四 9．2　正弦定理与余弦定理的应用 导学案 （原卷+答案） 课程标准 能用正弦定理、余弦定理解决简单的实际问题． 新知初探·自主学习——突出基础性 教 材 要 点 知识点一　实际测量中的有关名词、术语 名称 定义 图示 基线 在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线 铅垂平面 与地面垂直的平面 坡角 坡面与水平面的夹角 α为坡角 坡比 坡面的垂直高度与水平宽度之比 坡比：i＝ 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平 线上方时，视线与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平 线下方时，视线与水平线的夹角 知识点二　方位角 从正北方向按________转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α(如图所示)． 方位角的取值范围：________． 知识点三　方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于________的水平角，如南偏西60°，指以________方向为始边，顺时针方向________旋转60°. 知识点四　解三角形实际问题的流程 基 础 自 测 1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　) A．α>β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 2. 如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为(　　) A．a km B．a km C．a km D．2a km 3．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________m、________m． 4．如图，在救灾现场，搜救人员从A处出发沿正北方向行进x米到达B处，探测到一个生命迹象，然后从B处沿南偏东75°行进30米到达C处，探测到另一个生命迹象，如果C处恰好在A处的北偏东60°方向上，那么x＝(　　) A．10米 B．10米 C．10米 D．10米 课堂探究·素养提升——强化创新性 题型1　测量不便到达的两点之间的距离问题 例1　要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之间的距离． 方法归纳 测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决． 跟踪训练1　在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，求A，C两点之间的距离为________千米． 题型2　测量高度问题 例2　(1)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图所示，竖直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值． (2)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD＝α＝35°，∠BDC＝β＝100°，CD＝400 m．在点C测得塔顶A的仰角为50.5°. ①求B与D两点间的距离(结果精确到1 m)； ②求塔高AB(结果精确到1 m)． 参考数据：取sin 35°＝0.811，sin 80°＝1.393，tan 50.5°＝1.2. 方法归纳 解决测量高度问题的一般步骤 (1)画图：根据已知条件画出示意图． (2)分析三角形：分析与问题有关的三角形． (3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用． 跟踪训练2　(1)如图所示，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100 m，点C位于BD上，则山高AB等于(　　) A．100 m B．50 m C．50 m D．50(＋1) m (2)如图，在离地面高400 m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，求山的高度BC. 题型3　求航向的角度 例3　某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间． 方法归纳 (1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，