微专题08 三角函数图像的对称性 讲义-2023-2024学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【原卷版】 ( 微专题 三角函数图像 的对称性 ) ( 学习笔记 “ 微专题 ” 是指：针对教材中的 “ 四基 ” 、 “ 四能 ” 、数学方法、数学思想等的一种 “ 小切口 ” ，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； ) 1、正弦函数、余弦函数、正切函数的对称性 函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R y＝tan x 图像 定义域 R R 对称性 关于x＝kπ＋(k∈Z)成 轴对称， 关于(kπ，0)(k∈Z) 成中心对称 关于x＝kπ(k∈Z)成 轴对称， 关于kπ＋，0(k∈Z) 成中心对称 无对称轴，对称中心为(k∈Z) 2、求三角函数对称轴方程与对称中心坐标的方法 （1）求f(x)＝A sin (ωx＋φ)图像的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)整理； 求对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可； （2）求f(x)＝A cos (ωx＋φ)图像的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理， 求对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可； （3）求f(x)＝A tan (ωx＋φ)图像的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝ (k∈Z)，求x即可； 题型1、对三角函数图像的初步认识 例1、（1）下列叙述正确的是（ ） ①y＝sin x，x∈[0,2π]的图像关于点P(π，0)成中心对称； ②y＝cos x，x∈[0,2π]的图像关于直线x＝π成轴对称； ③正、余弦函数的图像不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围． ( 学习笔记 )A．0　　　　B．1个　　　　C．2个　　　　 D．3个 【答案】； 【解析】； （2）函数y＝sin|x|的图像是(　　) 【说明】1、解决正、余弦函数的图像问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线． 2、正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到． 3、正、余弦曲线的对称性 对称中心 对称轴 y＝sin x(x∈R) (kπ，0)，k∈Z x＝kπ＋，k∈Z y＝cos x(x∈R) ，k∈Z x＝kπ，k∈Z y＝tan x( (k∈Z) 无 题型2、三角变换与三角函数图像对称性的交汇 例2、（1）已知函数f＝cos 2x－sin 2x，则下列四个结论中： ①f的周期为π． ②x＝是f图像的一条对称轴． ③是f的一个单调递增区间． ( 学习笔记 )④f在区间上的最大值为2． 所有正确结论的序号是(　　 ) A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④ （2）已知函数f(x)＝sin x cos x＋(1－2sin2x)，则下列有关函数f(x)的说法正确的 序号是 ①函数f(x)的图象关于点对称 ②函数f(x)的最小正周期为π ③函数f(x)的图象关于直线x＝对称 ④函数f(x)的最大值为 题型3、利用研究函数图像的方法判别三角函数图像的对称性 例3、关于函数f(x)＝sinx＋有如下四个命题： ①f(x)的图像关于y轴对称；②f(x)的图像关于原点对称 ③f(x)的图像关于直线x＝对称；④f(x)的最小值为2. 其中所有真命题的序号是________. ( 学习笔记 ) 题型4、根据三角函数图像对称性的求参数 例1、 （1）已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)． ①若函数f(x)＝sin(2x＋φ)为偶函数，求φ的值； ②若函数f(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝对称，求出φ的值及f(x)的 所有的对称轴方程及对称中心的坐标． 【说明】1、函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质较为综合，主要围绕着函数单调性、最值、奇偶性、 图像的对称性等考查；2、有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质运用问题，要特别注意整体代换思想的运用． （2）函数图像的一个对称中心为，其中， 则点对应的坐标为 【说明】本题主要考查了正切函数的图象和性质，涉及正切函数的对称中心；. ( 学习笔记 )题型5、三角函数图像对称性与性质的交汇 例5、（1）已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π， 则下列说法正确的是(　 　) A．函数f(x)的图像关于点对称 B．函数f(x)的图像关于点对称 C．函数f(x)的图像关于直线x＝对称 D．函数f(x)的图像关于直线x＝－对称 【说明】求函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题 (1)∵y＝sinx图像的对称中心是(kπ，0)，k∈Z，∴y＝Asin(ωx＋φ