微专题06 三角函数的零点及其应用 讲义-2023-2024学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【原卷版】 ( 微专题 三角函数 的 零点 及其 应用 ) ( 学习笔记 “ 微专题 ” 是指：针对教材中的 “ 四基 ” 、 “ 四能 ” 、数学方法、数学思想等的一种 “ 小切口 ” ，专门确立一个短小精悍的研究主题，帮助学生更好地纠正易错点，强化重点，突破难点，弥补盲点；精准定位，措施得当，巩固提升； ) 1、函数的零点与方程的解 （1）零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点； （2）方程的解、函数的零点、函数的图象之间的关系： 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点； （3）函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线， 且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)， 使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解； 2、零点与三角函数的交汇 （1）注意函数y＝sin x，x∈[0,2π]，y＝cos x，x∈[0,2π]的五个关键点的横坐标是零点 和极值点(最值点)； 正、余弦函数的图像关于其零点中心对称； 正切函数关于点 (k∈Z)中心对称，与零点有关联； 例1、函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为________． 【答案】； 【解析】； 例2、函数f(x)＝2sinx＋tanx＋m，x∈有零点，则m的取值范围是(　　) 例3、若x＝是函数f(x)＝sin (x∈R)的一个零点，且0＜ω＜10， 则函数f(x)的最小正周期为 ． ( 学习笔记 )例4、已知函数f(x)＝＋3sin πx，则函数f(x)在[－1,3]上的所有零点的和为(　　) A．2 B．4 C．2π D．4π 例5、将函数f(x)＝sin(2x－)的图象向右平移ω(ω>0)个单位长度，得到的图象对应的 函数g(x)关于点对称，则ω的最小值为 (　　) A. B. C. D. 【说明】正、余弦函数关于其零点中心对称，在最值点x0处关于直线x＝x0对称； 正切函数关于点 (k∈Z)中心对称，需要注意的是当k为奇数时， 不在y＝tanx的定义域内； 例6、已知f(x)＝sin2＋sin·cos－. （1）求f(x)的单调递增区间； （2）若函数y＝|f(x)|－m在区间上恰有两个零点x1，x2. ①求m的取值范围； ②求sin(x1＋x2)的值． 注意理解零点的定义： ( 学习笔记 )零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做 函数y＝f(x)的零点； 1、函数f(x)＝cos 在[0，π]上的零点个数为 ． 2、已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为__________. 3、函数f(x)＝|lg x|－sinx的零点个数为________． 4、函数f(x)＝x－sinx的零点个数为________． 5、已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点， x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为 6、已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象 如图所示，现将f(x)的图象向左平移个单位长度 得到y＝g(x)的图象，则方程exg(x)＝在[0,2π]上 的实数解有 个 7、设函数f(x)＝sin(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]内有且仅有2个零点， 则下列结论不成立的有(　　) A．函数y＝f(x)＋1在(0,2π)内没有零点 B．y＝f(x)－1在(0,2π)内有且仅有1个零点 C．f(x)在上单调递增 D．ω的取值范围是 8、已知函数f(x)＝sin，则下列命题中错误的是(　　) A．函数f 是偶函数 ( 学习笔记 )B．x＝－是函数f(x)的一个零点 C．函数f(x)在区间上单调递增 D．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 9、已知函数f(x)＝sin(ω>0)在内单调递增， 则f(x)在(0,2π)内的零点个数最多有几个： ( 学习笔记 ) 10、已知函数f(x)＝sin(ωx－)，其中常数ω>0. （1）令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，纵坐标变为原来的2倍， 再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的解析式； （2）若y＝f(x)在上单调递增，求ω的取值范围； （3）在（1）的条件下的函数y＝g(x)，区间[a，b](a，b∈R且a<b)满足： y