专题5-2 数列递推及通项应用（17题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

专题5-2数列递推及通项应用 目录 题型01递推基础：等差数列定义型 1 题型02递推基础：等比数列定义型 2 题型03累加法求通项 3 题型04 累加法求通项：裂项型 3 题型05累加法求通项：换元型 4 题型06 累积法求通项 5 题型07待定系数型等比求通项 6 题型08分式型求通项 6 题型09不动点方程求通项 7 题型10前n项和型求通项 8 题型11前n项积型求通项 8 题型12因式分解型求通项 9 题型13同除型构造等差数列求通项 10 题型14同除型构造等比数列求通项 10 题型15周期数列求通项：分段型 11 题型16周期数列求通项：三阶型 11 题型17奇偶各自独立型求通项 12 高考练场 13 题型01递推基础：等差数列定义型 【解题攻略】 等差数列的判定方法 ①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证an＋1－an＝定值； ②等差中项法：即证2an＋1＝an＋an＋2； ③函数结论法：即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数. 【典例1-1】（2024上·山东威海·高三统考）已知数列，对都有，且，则 . 【典例1-2】（2024上·天津·高三天津市第一百中学校联考期末）在数列中，，且，则 . 【变式1-1】（2023下·全国·高三校联考阶段练习）已知数列满足，则 ， . 【变式1-2】（2024上·海南海口·高三海南中学校考）在数列中，，则 ． 【变式1-3】（2023上·四川成都·高三校联考阶段练习）已知各项均不为0的数列满足，且，则 ． 题型02递推基础：等比数列定义型 【解题攻略】 等比数列的判定方法： (1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证＝q(q≠0的常数)⇔数列{an}是等比数列； (2)等比中项法：即证a＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列． 【典例1-1】（2023·河南郑州·统考二模）已知正项数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知数列满足：对任意的m，，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】．（2022上·山东日照·高三统考）正项数列中，（k为常数），若，则的取值范围是（    ） A． B．[3，9] C． D．[3，15] 【变式1-2】（2022·陕西·校联考模拟预测）在数列中，，数列是公比为2的等比数列，设为的前项和，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．数列为递减数列 D． 【变式1-3】（2022·山西吕梁·统考一模）已知为数列的前n项和，且，，则（    ） A． B． C． D． 题型03累加法求通项 【解题攻略】 对于递推公式为，一般利用累加法求出数列的通项公式； 【典例1-1】已知数列满足 ，，则的最小值为（    ） A．2 -1 B． C． D． 【典例1-2】已知数列中，，时，，______. 【变式1-1】（2023下·北京·高三北京八中校考）若数列满足，则通项公式为 . 【变式1-2】（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知数列满足，，则数列的前100项和 ． 【变式1-3】．（2020上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）设数列满足，，，则数列的前50项和是 ． 题型04 累加法求通项：裂项型 【解题攻略】 形如：的数列的递推公式，采用累乘法求通项； 利用累乘法求通项： 【典例1-1】（2022·北京·清华附中高三开学考试（理））已知数列满足，，则的通项公式为__． 【典例1-2】（2023上海市南洋模范中学高三阶段练习）数列中，，，则数列的通项公式________. 【变式1-1】（2023下·北京昌平·高三北京市昌平区第二中学校考）已知数列满足，则=（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023下·山东潍坊·高三山东省昌乐第一中学校考阶段练习）已知数列满足，，则的通项为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-3】（2021·全国·高三专题练习）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 题型05累加法求通项：换元型 【典例1-1】（2022·全国·高三阶段练习（理））已知数列满足,数列的通项公式为___________. 【典例1-2】（2021上·陕西西安·高三西安市铁一中学校考阶段练习）数列满足，且，则(    ) A．－1 B．20 C．21 D．22 【变式1-1】（2021上·江西吉安·高三吉安一中