专题01平行线三种解题模型（解题技巧+例题讲解+强化训练）-2023-2024学年七年级数学下学期考试满分全攻略高频考点+重难点讲练与测试（浙教版）

专题01平行线三种解题模型（解题技巧+例题讲解+强化训练） 题型一：猪蹄模型 【模型解题技巧】 猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。 如图，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之间的数量关系． 思路1：过拐点作平行线过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠DEF，∴∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．∴∠E=∠B+∠D． 思路2：延长BE交CD于点F∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∴∠D+∠BFD=∠BED，∴∠B+∠D=∠E． 小结 证明的方法还有很多，同学们可以多多尝试。重点在于构造平行线的三线八角，就可以得到经典结论：猪蹄模型顶点在同一侧的角之和等于顶点在另一侧的角之和。 猪蹄模型（又名燕尾模型、M字模型） 结论：∠B+∠D=∠E 步骤总结 步骤一：过猪蹄（拐点）作平行线 步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角 步骤三：推导出角的数量关系 【例题讲解】 【例1】（2023春•确山县期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，为，之间一点，连接，，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． （2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】如图②，，线段与线段相交于点，，，平分交直线于点，则　　． 题型二：铅笔模型 【模型解题技巧】 一、“铅笔”模型 从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图： 那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。 模型结论：∠B+∠E+∠D=360° 二、模型证明 如图，若AB//CD，求证：∠B+∠E+∠D=360° 证明一：如图，过点E作FG//AB ∵ AB//FG，AB//CD ∴ FG//CD ∵ AB//FG ∴ ∠BEF+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵ FG//CD ∴ ∠D+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴ ∠BEF+∠B+∠D+∠DEF=360° ∴ ∠B+∠D+∠BED=360° 证明二：如图，连接BD， ∵ AB//CD ∴ ∠ABD+∠BDC=180° 在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180° ∴ ∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360° ∴ ∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360° ∴ ∠ABE+∠E+∠CDE=360° 证明该模型结论的还有其他方法，这里就没有全部写出来，可以自行证明。从前面学过的猪蹄模型和这里的铅笔头模型我们都能看出，最简单的方法就是过点E作平行线，利用平行线的性质得到结论。 三、猪蹄模型和铅笔头模型关系 1、将猪蹄模型转化为铅笔头模型 ABEDC为猪蹄模型，FBEDG为铅笔头模型由猪蹄模型可得，∠ABE+∠CDE=∠BED ∵ ∠ABE+∠FBE=180°，∠CDE+∠GDE=180° ∴ ∠ABE=180°-∠FBE，∠CDE=180°-∠GDE∴ 180°-∠FBE+180°-∠GDE=∠BED ∴ ∠FBE+∠GDE+∠BED=360° 2、将铅笔头模型转化为猪蹄模型 ABEDC为铅笔头模型，FBEDG为猪蹄模型由铅笔头模型得， ∠ABE+∠BED+∠CDE=360° ∵ ∠ABE+∠FBE=180°，∠CDE+∠GDE=180° ∴ ∠ABE=180°-∠FBE，∠CDE=180°-∠GDE ∴ 180°-∠FBE+∠BED+180°-∠GDE=360° ∴ ∠FBE+∠GDE=∠BED 【例题讲解】 【例2】（2023春•炎陵县期末）如图所示，，，，试求的度数． 题型三：锯齿模型 【模型解题技巧】 已知 图示 结论（性质） 证明方法 AB∥DE ∠B+∠E=∠C 遇拐点做平行线（方法不唯一） AB∥DE ∠B+∠M+∠E=∠C+∠N a∥b 所有朝左角之和等于所有朝右角的和 【例题讲解】 【例3】．（2023春•天宁区校级期中）已知：如图，，，求证：． 【强化训练】 一．选择题（共5小题） 1．（2022春•金华期末）如图，已知，，，则等于　　 A． B． C． D． 2．（2023春•温州期中）已知，分别是长方形纸条边，上两点，如图1所示，沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点；如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 3．（2023春•拱墅区期中）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是　　 A． B． C． D． 4．（2022春•襄州区期末）在一次数学活动课上，老师让同