培优课（二） 离散型随机变量及其分布的应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

数学·选择性必修·第三册 第七章 随机变量及其分布 培优课(二） 离散型随机变量 及其分布的应用 课下培优巩固练(十八) 　 突破点一　离散型随机变量均值的实际应用 【例1】 某销售公司在当地A，B两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种食品，每件200元，统一零售价为每件300元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足，则食品厂以每件250元补货，若销售有剩余，则食品厂以每件150元回收．现需决策每日购进食品数量，为此搜集并整理了A，B两家超市往年同期各50天的该食品销售记录，得到如下数据： 销售件数 8 9 10 11 频数 20 40 20 20 以频率代替概率，记X表示这两家超市每日共销售该食品的件数，n表示销售公司每日共需购进该食品的件数． (1)求X的分布列； (2)以销售该食品所得利润的期望为决策依据，在n＝19与n＝20之中选一个，应选用哪个？ 解：(1)易知一家超市销售该食品的件数为8，9，10，11的概率分别为 eq \f(1,5) ， eq \f(2,5) ， eq \f(1,5) ， eq \f(1,5) ， X的所有可能取值为16，17，18，19，20，21，22， P(X＝16)＝ eq \f(1,5) × eq \f(1,5) ＝ eq \f(1,25) ， P(X＝17)＝ eq \f(1,5) × eq \f(2,5) ×2＝ eq \f(4,25) ， P(X＝18)＝ eq \f(2,5) × eq \f(2,5) ＋ eq \f(1,5) × eq \f(1,5) ×2＝ eq \f(6,25) ， P(X＝19)＝ eq \f(1,5) × eq \f(2,5) ×2＋ eq \f(1,5) × eq \f(1,5) ×2＝ eq \f(6,25) ， P(X＝20)＝ eq \f(1,5) × eq \f(1,5) ＋ eq \f(2,5) × eq \f(1,5) ×2＝ eq \f(5,25) ＝ eq \f(1,5) ， P(X＝21)＝ eq \f(1,5) × eq \f(1,5) ×2＝ eq \f(2,25) ， P(X＝22)＝ eq \f(1,5) × eq \f(1,5) ＝ eq \f(1,25) ， ∴X的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P eq \f(1,25) eq \f(4,25) eq \f(6,25) eq \f(6,25) eq \f(1,5) eq \f(2,25) eq \f(1,25) (2)当n＝19时，记Y1为A，B两家超市销售该食品所得的利润，则Y1的分布列为 Y1 1 450 1 600 1 750 1 900 1 950 2 000 2 050 P eq \f(1,25) eq \f(4,25) eq \f(6,25) eq \f(6,25) eq \f(1,5) eq \f(2,25) eq \f(1,25) E(Y1)＝1 450× eq \f(1,25) ＋1 600× eq \f(4,25) ＋1 750× eq \f(6,25) ＋1 900× eq \f(6,25) ＋1 950× eq \f(1,5) ＋2 000× eq \f(2,25) ＋2 050× eq \f(1,25) ＝1 822. 当n＝20时，记Y2为A，B两家超市销售该食品所得的利润，则Y2的分布列为 Y2 1 400 1 550 1 700 1 850 2 000 2 050 2 100 P eq \f(1,25) eq \f(4,25) eq \f(6,25) eq \f(6,25) eq \f(1,5) eq \f(2,25) eq \f(1,25) E(Y2)＝1 400× eq \f(1,25) ＋1 550× eq \f(4,25) ＋1 700× eq \f(6,25) ＋1 850× eq \f(6,25) ＋2 000× eq \f(1,5) ＋2 050× eq \f(2,25) ＋2 100× eq \f(1,25) ＝1 804. ∵E(Y1)>E(Y2)，∴应选用n＝19. [总结] 　实际问题中的均值问题 均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计． 【跟踪训练】 1.根据天气预报，某地区近期有小