专题5-1 等差等比性质综合（14题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

专题5-1 等差等比性质综合 目录 题型01 等差数列单调性 1 题型02等比数列单调性 2 题型03等差数列不等式正负分界 3 题型04等比数列“1”比较型不等式 3 题型05等差数列“高斯”性质 4 题型06 等比数列“高斯”性质 5 题型07等差中项比值型 6 题型08 等比中项比值型 7 题型09整数型比值 7 题型10 等差等比函数性质：恒成立求参 8 题型11等差等比函数性质：奇偶型讨论 9 题型12等差等比函数性质：三角函数型 9 题型13等差等比插入数型 10 题型14等差等比分段型数列 11 高考练场 12 题型01 等差数列单调性 【解题攻略】 判断数列的单调性，常用的方法有作差比较法、作商比较法和函数图象法： （1）作差比较法：当时，递增；当时，递减. （2）作商比较法：若，则当时，递增；当时，递减. （3）函数图象法：设，则可用函数的图象来研究数列的单调性 【典例1-1】（2023春·广东佛山·高二佛山市三水区三水中学校考阶段练习）设是等差数列的前项和，若，且，则下列选项中正确的是（    ） A． B．和均为的最大值 C．存在正整数，使得 D．存在正整数，使得 【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列是公差不为零的等差数列，函数是定义在上的单调递增的奇函数，数列的前项和为，对于命题： ①若数列为递增数列，则对一切，； ②若对一切，，则数列为递增数列； ③若存在，使得，则存在，使得； ④若存在，使得，则存在，使得； 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（2019秋·河南洛阳·高三统考）已知数列为等差数列，其前项和为，若（且），有以下结论：①；②；③为递增数列；④．则正确的结论的个数为 A． B． C． D． 【变式1-2】（2019春·上海杨浦·高三复旦附中校考）已知数列是公差不为零的等差数列，函数是定义在上的单调递增的奇函数，数列的前项和为，对于命题： ①若数列为递增数列，则对一切， ②若对一切，，则数列为递增数列 ③若存在，使得，则存在，使得 ④若存在，使得，则存在，使得 其中正确命题的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型02等比数列单调性 【解题攻略】 函数图象法：求出数列的前n项和，利用函数的图象性质来研究的最大最小值问题. 【典例1-1】无穷数列的前项和为，满足，则下列结论中正确的有（    ） A．为等比数列 B．为递增数列 【典例1-2】等比数列的公比为，则“”是“对于任意正整数n，都有”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式1-1】已知数列满足，，设 ，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】.数列是等比数列，首项为，公比为q，则是“数列递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】数列{an}满足an+1＝2an+1，a1＝1，若bn＝an﹣n2+4n为单调递增数列，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 题型03等差数列不等式正负分界 【解题攻略】 邻项变号法： 若当时，，当时，，则数列中，最大； 若当时，，当时，，则数列中，最小. 【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，且满足，，则下列结论正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则选项不正确的是（    ） A．数列的最小项为第项 B． C． D．时，的最大值为 【变式1-1】（2021·全国·高三专题练习）设数列为等差数列，为其前项和，若，，，则的最大值为 A．3 B．4 C． D． 【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知公差非零的等差数列 满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，为其前n项和.若，，则下列判断错误的是（    ） A．数列递增 B． C．数列前2020项和最小 D． 题型04等比数列“1”比较型不等式 【解题攻略】 等比数列“平衡点”型不等式，主要从以下几个性质思考： 1.若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2 2.如果等比数列是正项递增