14.4.2 用样本估计总体的离散程度参数&14.4.3 用频率直方图估计总体分布-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

数学 必修第二册（苏教） 第14章 统计 14．4　用样本估计总体 高效导学第一步 预习教材新知，落实必备知识 最大值 最小值 大 小 高效导学第二步 课堂互动探究，培优关键能力 课下培优巩固练(四十一) 14．4．2　用样本估计总体的离散程度参数 14．4．3　用频率直方图估计总体分布 [课程标准]　结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差，方差，极差)，理解离散程度参数的统计含义． 1．极差 一组数据的 与 的差称为极差． 极差刻画了一组数据的离散程度，即这组数据落在最小值与最大值之间．一组数据的极差越小，说明这组数据相对集中． 2．一组样本数据x1，x2，…，xn的方差和标准差 设一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为 eq \o(x,\s\up6(－)) ，则称 为这个样本的方差，其算术平方根 为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标准差． 样本方差(标准差)越大，数据的离散程度越 ；方差、标准差越小，数据的离散程度越 ． 想一想1：数据x1，x2，…，xn的平均数是 eq \o(x,\s\up6(－)) ，方差为s2，数据x1，x2，…，xn， eq \o(x,\s\up6(－)) 的方差为s eq \o\al(\s\up24(2),\s\do8(1)) ，那么s2与s eq \o\al(\s\up24(2),\s\do8(1)) 的大小关系如何？ 提示：因为数据x1，x2，…，xn， eq \o(x,\s\up6(－)) 比数据x1，x2，…，xn更加相对集中，所以方差变小了，即s eq \o\al(\s\up24(2),\s\do8(1)) ＜s2. 3．样本方差的其他计算公式 (1)s2＝ ； (2)若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其方差为s2＝ ＝p1(x1－ eq \o(x,\s\up6(－)) )2＋p2(x2－ eq \o(x,\s\up6(－)) )2＋…＋pn(xn－ eq \o(x,\s\up6(－)) )2． 想一想2：公式(1)你能给出证明么？ 提示：因为 eq \o(x,\s\up6(－)) ＝ eq \f(1,n) (x1＋x2＋…＋xn)， ∴s2＝ ＝ eq \f(1,n) [(x1－ eq \o(x,\s\up6(－)) )2＋(x2－ eq \o(x,\s\up6(－)) )2＋…＋(xn－ eq \o(x,\s\up6(－)) )2] ＝ eq \f(1,n) [(x eq \o\al(\s\up24(2),\s\do8(1)) －2x1 eq \o(x,\s\up6(－)) ＋ eq \o(x,\s\up6(－)) 2)＋(x eq \o\al(\s\up24(2),\s\do8(2)) －2x2 eq \o(x,\s\up6(－)) ＋ eq \o(x,\s\up6(－)) 2)＋…＋(x eq \o\al(\s\up24(2),\s\do8(n)) －2xn eq \o(x,\s\up6(－)) ＋ eq \o(x,\s\up6(－)) 2)] ＝ eq \f(1,n) [(x eq \o\al(\s\up24(2),\s\do8(1)) ＋x eq \o\al(\s\up24(2),\s\do8(2)) ＋…＋x eq \o\al(\s\up24(2),\s\do8(n)) )－2 eq \o(x,\s\up6(－)) (x1＋x2＋…＋xn)＋n eq \o(x,\s\up6(－)) 2] ＝ eq \f(1,n) [(x eq \o\al(\s\up24(2),\s\do8(1)) ＋x eq \o\al(\s\up24(2),\s\do8(2)) ＋…＋x eq \o\al(\s\up24(2),\s\do8(n)) )－2n eq \o(x,\s\up6(－)) 2＋n eq \o(x,\s\up6(－)) 2]＝ eq \f(1,n) [(x eq \o\al(\s\up24(2),\s\do8(1)) ＋x eq \o\al(\s\up24(2),\s\do8(2)) ＋…＋x eq \o\al(\s\up24(2),\s\do8(n)) )－n eq \o(x,\s\up6(－)) 2] ＝ . 4．分层抽样的方差 一般地，如果总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1，xj2，…， ，第j层的样本量为nj，样本平均数为 eq \o(x,\s\up6(－)) j，样本方差为 ，j＝1，2，3…，k.记 ＝n，那么，所有数据的样本方差为