第11章末总结 （十一）解三角形-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

数学 必修第二册（苏教） 章末总结　（十一）解三角形 阶段过关检测卷(十一) 考点一　利用正、余弦定理解三角形 解三角形的一般方法 (1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角． (3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况． (4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C. 例1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2a cos B. (1)证明：A＝2B； (2)若△ABC的面积S＝ eq \f(a2,4) ，求角A的大小． 解：(1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin A cos B， 故2sin A cos B＝sin B＋sin (A＋B)＝sin B＋sin A cos B＋cos A sin B， 于是sin B＝sin (A－B)， 又A，B∈(0，π)，故0<A－B<π， 所以B＝π－(A－B)或B＝A－B， 因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B. (2)由S＝ eq \f(a2,4) ，得 eq \f(1,2) ab sin C＝ eq \f(a2,4) ，根据正弦定理及(1)所求A＝2B， 故有sin B sin C＝ eq \f(1,2) sin 2B＝sin B cos B， 因为sin B≠0，所以sin C＝cos B， 又B，C∈(0，π)，所以C＝ eq \f(π,2) ±B. 当B＋C＝ eq \f(π,2) 时，A＝ eq \f(π,2) ； 当C－B＝ eq \f(π,2) 时，A＝ eq \f(π,4) . 综上，A＝ eq \f(π,2) 或A＝ eq \f(π,4) . 【练一练】 1．在锐角△ABC中，设角A, B, C所对的边长分别为a, b, c，且b sin A＝ eq \f(\r(3),2) a. (1)求B的大小； (2)若AB＝2，BC＝ eq \f(3,2) ，点D在边AC上，________，求BD的长． 请在①AD＝DC; ②∠DBC＝∠DBA; ③BD⊥AC这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答． 解：(1)在△ABC中，由正弦定理 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) 及b sin A＝ eq \f(\r(3),2) a，得sin B sin A＝ eq \f(\r(3),2) sin A， 因为△ABC为锐角三角形，所以A∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) ，所以sin A>0， 所以sin B＝ eq \f(\r(3),2) ， 又因为B∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) ，所以B＝ eq \f(π,3) . (2)若选①：在△ABC中，由余弦定理，得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝22＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up12(2) －2×2× eq \f(3,2) ×cos eq \f(π,3) ＝ eq \f(13,4) ， 所以AC＝ eq \f(\r(13),2) ，所以AD＝DC＝ eq \f(\r(13),4) ， 在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝BD2＋DA2－2BD·DA·cos ∠ADB， 即4＝BD2＋ eq \f(13,16) － eq \f(\r(13),2) BD cos ∠ADB， 在△BDC中，由余弦定理，得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos ∠CDB， 即 eq \f(9,4) ＝BD2＋ eq \f(13,16) － eq \f(\r(13),2) BD cos ∠CDB， 又∠ADB＋∠CDB＝π， 所以cos ∠ADB＋cos ∠CDB＝0， 所以4＋ eq \f(9,4) ＝2BD2＋ eq \f(13,8) ，所以BD＝ eq \f(\r(37),4) . 若选②：在△ABC中，S△ABC＝S△ABD＋S△CBD， 即 eq \f(1,2) BA·BC sin eq \f(π,3) ＝ eq \f(1,2) BA·BD sin eq \f(π,6) ＋ eq \f(1,2) BD·BC sin eq \f(π,6) ， 即 eq \f(1,2) ×2× eq \f(3,2) × eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(1,2) ×2