11.3 余弦定理、正弦定理的应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

数学 必修第二册（苏教） 第11章 解三角形 11．3　余弦定理、正弦定理的 应用 高效导学第一步 预习教材新知，落实必备知识 高效导学第二步 课堂互动探究，培优关键能力 课下培优巩固练(十八) [课程标准]　能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题． 实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 基线 在测量上，根据测量需要适当确定的线段 叫作基线 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的 夹角 续表 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°) 南偏西60°指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角 续表 方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 【基点小试】 1．如图，一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10 n mile至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10 n mile至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿________方向行驶__________ n mile 至海岛C.(　　 ) A．北偏东60°，10 eq \r(2) B．北偏东30°，10 eq \r(3) C．北偏东40°，10 eq \r(3) D．北偏东20°，10 eq \r(2) 解析：由题意得∠ABC＝180°－70°＋10°＝120°，AB＝BC＝10，故∠BAC＝30°， 所以从A到C的航向为北偏东70°－30°＝40°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC＝102＋102－200× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) ＝300，故AC＝10 eq \r(3) . 答案：C 2．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为(　　 ) A．500 eq \r(2) m B．200 m C．1 000 eq \r(2) m D．1 000 m 解析：∵∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°， 在△ABS中，AB＝ eq \f(AS·sin 135°,sin 30°) ＝ eq \f(1 000×\f(\r(2),2),\f(1,2)) ＝1 000 eq \r(2) (m)， ∴BC＝AB·sin 45°＝1 000 eq \r(2) × eq \f(\r(2),2) ＝1 000(m). 答案：D 题型一　测量距离问题 例1.(1)为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，某运营商准备在东北某地地面建设如图所示的四个5G基站A，B，C，D.已知C，D两个基站建在松花江的南岸，距离为10 eq \r(3) km.基站A，B在江的北岸，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A，B两个基站的距离为(　　 ) A．10 eq \r(6) km B．30( eq \r(3) －1)km C．30( eq \r(2) －1)km D．10 eq \r(5) km 解析：在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝120°， 所以∠CAD＝30°，∠BCD＝45°，所以∠ADC＝∠CAD，所以AC＝CD＝10 eq \r(3) ， 在△BDC中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°， 由正弦定理，得BC＝ eq \f(10\r(3)sin 75°,sin 60°) ＝5 eq \r(2) ＋5 eq \r(6) ， 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos ∠BCA＝(10 eq \r(3) )2＋(5 eq \r(2) ＋5 eq \r(6) )2－2×10 eq \r(3) ×(5 eq \r(2) ＋5 eq \r(6) )cos 75°＝500， 所以AB＝10 eq \r(5) ，即两个基站A，B之间的距离为10 eq \r(5) km. 答案：D (2)海上A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛间的距离是________． 解析：如图，在△ABC中，∠C＝180°－(∠B＋∠A)＝45°， 由正弦定理，可得 eq \f(BC,sin 60°) ＝ eq \f(AB,sin 45°) ， 所以BC＝5 eq \r(6) (n mile). 答案：5 eq