10.1.3 两角和与差的正切-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

数学 必修第二册（苏教） 第10章 三角恒等变换 10．1　两角和与差的三角函数 高效导学第一步 预习教材新知，落实必备知识 高效导学第二步 课堂互动探究，培优关键能力 课下培优巩固练(十三) 10. 1. 3 两角和与差的正切 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的 正切公式 T(α＋β) tan (α＋β)= α，β，α＋β，α－β≠kπ＋ eq \f(π,2) (k∈Z)且tanα·tanβ≠±1 两角差的 正切公式 T(α－β) tan (α－β)＝ eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β) 记一记：两角和与差的正切公式的变形 (1)T(α＋β)的变形： tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)， tan α＋tan β＋tan αtan βtan (α＋β)＝tan (α＋β)， tan αtan β＝1－ eq \f(tan α＋tan β,tan （α＋β）) . (2)T(α－β)的变形： tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β)， tan α－tan β－tan αtan βtan (α－β)＝tan (α－β)， tan αtan β＝ eq \f(tan α－tan β,tan （α－β）) －1. 【基点小试】 1. eq \f(\r(3)－tan 18°,1＋\r(3)tan 18°) ＝(　　) A．tan 42° B．tan 3° C．1 D．tan 24° 解析： eq \f(\r(3)－tan 18°,1＋\r(3)tan 18°) ＝ eq \f(tan 60°－tan 18°,1＋tan 60°tan 18°) ＝tan (60°－18°)＝tan 42°. 答案：A 2．tan 15°＝________；tan 75°＝________． 解析：tan 15°＝tan (45°－30°)＝ eq \f(tan 45°－tan 30°,1＋tan 45°tan 30°) ＝ eq \f(1－\f(\r(3),3),1＋\f(\r(3),3)) ＝ eq \f(3－\r(3),3＋\r(3)) ＝ 2－ eq \r(3) . tan 75°＝tan (45°＋30°)＝ eq \f(tan 45°＋tan 30°,1－tan 45°tan 30°) ＝ eq \f(1＋\f(\r(3),3),1－\f(\r(3),3)) ＝2＋ eq \r(3) . 答案：2－ eq \r(3) 　2＋ eq \r(3) 3．设α，β为锐角，且tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的根，则tan (α＋β)＝________． 解析：tan α＋tan β＝ eq \f(5,6) ，tan α·tan β＝ eq \f(1,6) ， tan (α＋β)＝ eq \f(tan α＋tan β,1－tan α·tan β) ＝1. 答案：1 eq \f(1－tan 15°,1＋tan 15°) ＝________． 解析：原式＝ eq \f(tan 45°－tan 15°,1＋tan 45°tan 15°) ＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝ eq \f(\r(3),3) . 答案： eq \f(\r(3),3) 题型一　条件求值问题 例1.已知tan (α＋β)＝5，tan (α－β)＝3，求tan 2α，tan 2β，tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4))) . [思维点拨]　2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4))) 可以用tan 2α表示出来． 解：tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)] ＝ eq \f(tan （α＋β）＋tan （α－β）,1－tan （α＋β）tan （α－β）) ＝ eq \f(5＋3,1－5×3) ＝－ eq \f(4,7) ， tan 2β＝tan [(α＋β)－(α－β)] ＝ eq \f(tan （α＋β）－tan （α－β）,1＋tan （α＋β）tan （α－β）) ＝ eq \f(5－3,1＋5×3) ＝ eq \f(1,8) ， tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4))) ＝ eq \f(1＋tan 2α,1－tan 2α)