10.1.2 两角和与差的正弦-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

数学 必修第二册（苏教） 第10章 三角恒等变换 10．1　两角和与差的三角函数 高效导学第一步 预习教材新知，落实必备知识 高效导学第二步 课堂互动探究，培优关键能力 课下培优巩固练(十二) 10. 1. 2 两角和与差的正弦 1．两角和与差的正弦公式 公式 简记 适用范围 sin (α＋β)＝ S(α＋β) α，β都是任意角 sin (α－β)＝ S(α－β) sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β 2.辅助角公式 a sin x＋b cos x＝ eq \r(a2＋b2) ( eq \f(a,\r(a2＋b2)) sin x＋ eq \f(b,\r(a2＋b2)) cos x)， 令cos φ＝ eq \f(a,\r(a2＋b2)) ，sin φ＝ eq \f(b,\r(a2＋b2)) ，则有a sin x＋b cos x＝ eq \r(a2＋b2) (cos φsin x＋sin φcos x)＝ eq \r(a2＋b2) sin(x＋φ)，其中tan φ＝ eq \f(b,a) ，φ为辅助角． 想一想：1.如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？ 2．如何推导两角差的正弦呢？ 提示：1.sin (α＋β)＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－（α＋β）)) ＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))－β)) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)) cos β＋ sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)) sin β＝sin αcos β＋cos αsin β. 可以由sin (α－β)＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－（α－β）)) ＝cos [( eq \f(π,2) －α)＋β]得到，也可以由 sin (α－β)＝sin [α＋(－β)]得到． 【基点小试】 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)sin 150°＝sin 120°＋sin 30°.(　　 ) (2)sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝ eq \f(1,2) .(　　 ) (3)α，β∈R时，sin (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(　　 ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.(　　 ) 解析：(1)公式错误． (2)原式＝sin (60°＋30°)＝sin 90°＝1. (3)sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. (4)原式＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24° ＝sin (54°－24°)＝sin 30°. 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．sin eq \f(π,12) － eq \r(3) cos eq \f(π,12) ＝________． 解析：原式＝2( eq \f(1,2) sin eq \f(π,12) － eq \f(\r(3),2) cos eq \f(π,12) ) ＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,3)sin \f(π,12)－sin \f(π,3)cos \f(π,12))) ＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－\f(π,3))) ＝－2sin eq \f(π,4) ＝－ eq \r(2) . 答案：－ eq \r(2) eq \f(sin 47°－sin 17°cos 30°,cos 17°) ＝________． 解析：原式＝ eq \f(sin （17°＋30°）－sin 17°cos 30°,cos 17°) ＝ eq \f(cos 17°sin 30°,cos 17°) ＝sin 30°＝ eq \f(1,2) . 答案： eq \f(1,2) 题型一　两角和与差的正弦公式的简单应用 例1.求下列各式的值： (1)sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°； (2) eq \f(2cos 55°－\r(3)sin 5°,sin 85°) . [思维点拨]　(1)从角和“形”入手，转化成两角和(差)的正