第3章 数学建模活动（二）-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

数学 必修第二册（北师） 第三章 数学建模活动（二） 高效导学第一步 预习教材新知，落实必备知识 高效导学第二步 课堂互动探究，培优关键能力 [课程标准]　通过建筑物高度测量的数学建模活动，体会正弦、余弦定理在实际生活中的应用． 一、数学建模的概念 把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模． 二、数学建模活动的主要步骤如下： 【基点小试】 1．如图，山坡AC与水平面AB成30°的角，沿山坡AC每往上爬100 m，则竖直高度上升(　　) A．30 m B．50 eq \r(2) m C．50 eq \r(3) m D．50 m 解析：依题意可知BC＝AC sin 30°＝100× eq \f(1,2) ＝50(m). 答案：D 2．某人在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°，又知水平距离BD＝10 m，楼高AB＝24 m，则树高CD为(　　) A．(24－10 eq \r(3) )m B．(24－ eq \f(10\r(3),3) )m C．(24－5 eq \r(3) )m D．9 m 解析：过C作CE⊥AB于E，则CE＝BD＝10 m．由俯角为60°，可知∠FAC＝60°， 所以∠ACE＝60°， 在Rt△AEC中，AE＝10 eq \r(3) m，所以BE＝AB－AE＝(24－10 eq \r(3) )m， 所以CD＝(24－10 eq \r(3) )m. 答案：A 题型一　两点间的距离 例1. 为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”的冈仁波齐山峰的高度，采用人工攀登的方式进行测量，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量，最后将所有的高度差累加，得到山峰的高度，在测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高10 m，测量人员在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°，80°(如图)，则A，B两点的高度差约为(　　) (最后结果精确到0.01 m，参考数据：sin 10°≈0.173 6，sin 70°≈0.939 7，sin 80°≈0.984 8) A．10 m B．9.66 m C．9.40 m D．8.66 m 解析：如图所示，在△ABC中，由正弦定理可得 eq \f(BC,sin ∠BAC) ＝ eq \f(AB,sin ∠ACB) ， 由∠BAC＝∠DAC－∠BAD＝10°，∠ACD＝90°－∠CAD＝10°， 所以AB＝BC＝10 m， 在Rt△ADB中，BD＝AB sin ∠BAD＝10sin 70°≈9.40(m). 答案：C [总结]　山顶上的小塔的高度就是塔顶与塔底之间的高度差．基本的思路方法就是把高度差抽象为与水平面垂直的线段，把该线段归入三角形中，通过三角形的其他元素求得该线段的长度． 【练一练】 1．在某大学校园中有一座雕像．雕像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC＝45°，且CD＝2.3 m，则像体AD的高度约为(　　) (最后结果精确到0.1 m，参考数据：sin 70.5°≈0.943， cos 70.5°≈0.334，tan 70.5°≈2.824) A．4.0 m B．4.2 m C．4.3 m D．4.4 m 解析：在Rt△BCD中，BC＝ eq \f(CD,tan ∠DBC) ＝2.3(m)， 在Rt△ABC中，AC＝BC tan ∠ABC≈2.3×2.824≈6.5(m)， 所以AD＝AC－CD≈6.5－2.3≈4.2(m). 答案：B 题型二　航空测量问题 例2.要航测某座山的海拔高度，如图，飞机的航线与山顶M在同一个铅垂面内，已知飞机的飞行高度为海拔10 000 m，速度为900 km/h，航测员先测得对山顶的俯角为30°，经过40 s(已飞过M点)后，又测得对山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度．(精确到1 m)(可能要用到的数据： eq \r(2) ≈1.414， eq \r(3) ≈1.732， eq \r(6) ≈2.450，sin 105°＝ eq \f(\r(2)＋\r(6),4) ) 解：因为900 km/h＝250 m/s，所以AB＝250×40＝10 000(m)， 在△ABM中，由正弦定理得 eq \f(BM,sin 30°) ＝ eq \f(A