2.6.1 第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

数学 必修第二册（北师） 第二章 平面向量及其应用 §6　平面向量的应用　 6．1　余弦定理与正弦定理　 高效导学第二步 课堂互动探究，培优关键能力 续表 续表 第三课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 题型一　余弦定理、正弦定理的应用 角度1　正弦、余弦定理在几何问题中的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 例1.在△ABC中，已知B＝30°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6. (1)求∠ADC的大小； (2)求AB的长． 解：(1)在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6， 由余弦定理得cos ∠ADC＝ eq \f(AD2＋DC2－AC2,2AD·DC) ＝ eq \f(100＋36－196,2×10×6) ＝－ eq \f(1,2) ， 所以∠ADC＝120°. (2)由(1)知∠ADB＝60°，在△ABD中，AD＝10，B＝30°，∠ADB＝60°， 由正弦定理得 eq \f(AB,sin ∠ADB) ＝ eq \f(AD,sin B) ， 所以AB＝ eq \f(AD·sin ∠ADB,sin B) ＝ eq \f(10×sin 60°,sin 30°) ＝ eq \f(10×\f(\r(3),2),\f(1,2)) ＝10 eq \r(3) . [总结] 　求几何图形中线段的长度与角度的方法 (1)求几何图形中线段的长度主要是转化为求三角形的边长，解决此类问题要恰当地选择或构造三角形，利用正弦、余弦定理求解． (2)求角度时，首先选择涉及该角的三角形，根据其余条件选择三角形后利用正弦、余弦定理求解，有时也需要利用A＋B＋C＝π求解． 角度2　利用正弦、余弦定理进行边角互化解三角形 例2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，sin B－cos C＝ eq \f(c2－a2,2ab) . (1)求角A的大小； (2)若b＝ eq \f(\r(3),4) c，且BC边上的高为2 eq \r(3) ，求△ABC的面积． 解：(1)由sin B－cos C＝ eq \f(c2－a2,2ab) 得2ab sin B－2ab cos C＝c2－a2， 由余弦定理得2ab sin B＋c2－a2－b2＝c2－a2， 所以2a sin B＝b， 由正弦定理得2sin A sin B＝sin B，B是三角形内角，sin B≠0， 所以sin A＝ eq \f(1,2) ，又A为锐角，所以A＝ eq \f(π,6) . (2)由(1)及余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝ eq \f(3,16) c2＋c2－2× eq \f(\r(3),4) c·c·cos eq \f(π,6) ＝ eq \f(7,16) c2，a＝ eq \f(\r(7),4) c， 所以S△ABC＝ eq \f(1,2) bc sin A＝ eq \f(1,2) a×2 eq \r(3) ， 即 eq \f(1,2) × eq \f(\r(3),4) c2× eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,2) × eq \f(\r(7),4) c×2 eq \r(3) ，解得c＝4 eq \r(7) ，b＝ eq \f(\r(3),4) c＝ eq \r(21) ， S△ABC＝ eq \f(1,2) bc sin A＝ eq \f(1,2) × eq \r(21) ×4 eq \r(7) × eq \f(1,2) ＝7 eq \r(3) . [总结]　利用正弦、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化，把条件化为边的关系或化为角的关系．一般地，已知等式中含一个角的正弦与边的一次式，常利用正弦定理化为角，而含有角的正弦的平方式需要利用正弦定理将角的正弦化为边，而已知条件中含边的二次式与角的余弦的形式，常利用余弦定理将角的余弦值化为边． 【练一练】 1．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2 eq \r(3) ，点D在边BC上，∠ADC＝45°，求AD的长度． 解：在△ABC中，由余弦定理，有cos C＝ eq \f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC) ＝ eq \f(22＋（2\r(3)）2－22,2×2×2\r(3)) ＝ eq \f(\r(3),2) ，则C＝30°. 在△ACD中，由正弦定理，有 eq \f(AD,sin C) ＝ eq \f(AC,sin ∠ADC) ， 所以AD＝ eq \f(AC·sin 30°,sin 45°) ＝ eq \f(2×\f(1,2),\f(\r(2),2)) ＝ eq \r(2) ，即AD的长度为 eq \r(2) . 2．(2023·福建华安高一检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 eq \f(sin A＋sin