第1章末总结 （一）三角函数-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

数学 必修第二册（北师） 第一章 三角函数 章末总结　（一）三角函数 考点一　三角函数的定义 只要角α的顶点在坐标原点、始边在x轴的非负半轴上，角α终边上异于坐标原点的一点Q(x，y)，则sin α＝ eq \f(y,\r(x2＋y2 )) ，cos α＝ eq \f(x,\r(x2＋y2)) ，tan α＝ eq \f(y,x) (x≠0). 例1. 已知角θ终边上有一点P(tan eq \f(4π,3) ，2sin (－ eq \f(17π,6) ))，则cos θ的值为(　　 ) A． eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,2) C．－ eq \f(\r(3),2) D． eq \f(\r(3),2) 解析：因为tan eq \f(4π,3) ＝ eq \r(3) ，sin (－ eq \f(17π,6) )＝sin (－2π－π＋ eq \f(π,6) )＝sin (－π＋ eq \f(π,6) )＝－sin (π－ eq \f(π,6) )＝－sin eq \f(π,6) ＝－ eq \f(1,2) ，所以P( eq \r(3) ，－1)， 故cos θ＝ eq \f(\r(3),\r(（\r(3) ）2＋（－1）2)) ＝ eq \f(\r(3),2) . 答案：D 考点二　三角函数的诱导公式 三角函数的诱导公式有两个要点： (1)公式两端的函数名称． (2)符号．对 eq \f(kπ,2) ＋α(k∈Z)，其中α为锐角，遵循“奇变偶不变，符号看象限”的规律，奇、偶指的是k为奇数、偶数，变与不变是指公式两端函数的名称，象限是指当α为锐角时角 eq \f(kπ,2) ＋α(k∈Z)所在的象限，符号是指公式右端的符号，如sin ( eq \f(kπ,2) ＋α)，当 k＝3(奇数)时， eq \f(3π,2) ＋α为第四象限角，在第四象限正弦值为负，故 sin ( eq \f(3π,2) ＋α)＝－cos α. 例2. 若tan (π＋α)＝ eq \f(3,4) ，则 eq \f(sin （\f(π,2)＋α）－ cos （\f(π,2)＋α）,sin （\f(π,2)－α）－ cos （\f(π,2)－α）) ＝(　　 ) A．1 B．7 C．－7 D．－1 解析：由tan (π＋α)＝ eq \f(3,4) ，得tan α＝ eq \f(3,4) ， 所以 eq \f(sin（\f(π,2)＋α）－ cos （\f(π,2)＋α）,sin （\f(π,2)－α）－cos （\f(π,2)－α）) ＝ eq \f(cos α＋sin α,cos α－sin α) ＝ eq \f(1＋tan α,1－tan α) ＝ eq \f(1＋\f(3,4),1－\f(3,4)) ＝7. 答案：B 考点三　三角函数的性质 1．三角函数的周期性：函数y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为 eq \f(2π,|ω|) ，y＝tan (ωx＋φ)的最小正周期为 eq \f(π,|ω|) . 2．三角函数的奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋B的形式． 3．求三角函数值域(最值)的方法 (1)利用sin x，cos x的有界性． (2)从y＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域． (3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值) 问题． 特别提醒：利用换元法求三角函数的值域时，一定要注意三角函数自身的取值范围，否则会出现错误． 4．求三角函数的单调区间 求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把ωx＋φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y＝sin x，余弦函数y＝cos x的单调递增(减)区间对应解出x，即得所求的单调递增(减)区间． 例3. 设函数f(x)＝ eq \r(3) sin (ωx－ eq \f(π,3) )，其中0<ω<3，已知f( eq \f(π,6) )＝0. (1)求ω以及函数y＝f(x)的单调递增区间、对称轴、对称中心； (2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移 eq \f(π,4) 个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在 eq \b\lc\