1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

数学 必修第二册（北师） 第一章 三角函数 §4　正弦函数和余弦函数的概 念及其性质 高效导学第一步 预习教材新知，落实必备知识 高效导学第二步 课堂互动探究，培优关键能力 4．2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 [课程标准]　1.了解正弦函数、余弦函数的基本性质．　2.掌握正弦函数、余弦函数的符号． 一、正弦函数、余弦函数的定义域、值域与周期性 1．正弦函数、余弦函数的定义域 正弦函数、余弦函数的定义域均是R. 2．正弦函数、余弦函数的值域 正弦函数、余弦函数的值域均为[－1，1]. 当α＝2kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z时，正弦函数v＝sin α取得最大值1；当α＝2kπ－ eq \f(π,2) ，k∈Z时，正弦函数v＝sin α取得最小值－1. 当α＝2kπ，k∈Z时，余弦函数u＝cos α取得最大值1；当α＝2kπ＋π，k∈Z时，余弦函数u＝cos α取得最小值－1. [2kπ，2kπ＋π] 3．正弦函数、余弦函数的周期性 正弦函数、余弦函数均为周期函数，其周期为2kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为2π. 二、正弦函数、余弦函数的单调性 正弦函数在区间 (k∈Z)上单调递增， 在区间 (k∈Z)上单调递减； 余弦函数在区间 (k∈Z)上单调递增， 在区间 (k∈Z)上单调递减． [2kπ－ eq \f(π,2) ，2kπ＋ eq \f(π,2) ] [2kπ＋ eq \f(π,2) ，2kπ＋ eq \f(3π,2) ] [2kπ－π，2kπ] < 三、正弦函数值和余弦函数值的符号 1．当角α的终边在第一象限、y轴的正半轴、第二象限时，sin α 0；角α的终边在第三象限、y轴的负半轴、第四象限时，sin α 0. 2．当角α的终边在第四象限、x轴的正半轴、第一象限时，cos α 0；角α的终边在第二象限、x轴的负半轴、第三象限时，cos α 0. 正弦函数、余弦函数的记忆口诀：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负． > > < 【基点小试】 1．若cos α＝ eq \f(3,5) ，则cos (2π＋α)＝(　　) A． eq \f(3,5) B． eq \f(4,5) C．－ eq \f(3,5) D．－ eq \f(4,5) 解析：cos (2π＋α)＝cos α＝ eq \f(3,5) . 答案：A 2．函数y＝πsin x的最大值与最小值的差为(　　) A．π B．－π C．2π D．－2π 解析：y＝πsin x的最大值为π，最小值为－π，所以差为2π. 答案：C 3．若sin θ<cos θ，且sin θ·cos θ<0，则角θ的终边位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：由条件可知sin θ<0，cos θ>0，则θ为第四象限角． 答案：D 4．(多选)下列式子正确的是(　　) A．sin eq \f(π,3) <sin eq \f(π,4) B．cos eq \f(π,3) <cos eq \f(π,4) C．sin eq \f(5π,4) >cos eq \f(7π,3) D．sin eq \f(2π,3) >cos eq \f(2π,3) 解析：由于当x∈[0， eq \f(π,2) ]时，正弦函数单调递增，余弦函数单调递减，因此B正确，A不正确；sin eq \f(5π,4) <0，cos eq \f(7π,3) >0，因此C错误；sin eq \f(2π,3) >0，cos eq \f(2π,3) <0，因此D正确． 答案：BD 题型一　正弦函数、余弦函数的定义域 例1. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合： (1)sin α≥ eq \f(\r(3),2) ； (2)cos α≤－ eq \f(1,2) . 解：(1)作直线y＝ eq \f(\r(3),2) 交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋ eq \f(π,3) ≤α≤2kπ＋ eq \f(2π,3) ，k∈Z}． (2)作直线x＝－ eq \f(1,2) 交单位圆于C，D两点，连接OC，OD， 则OC与OD围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围． 故满足条件的角α的集合为{α|2k