专题06二次函数中的角相等或角的和差倍半关系-备战2024年中考数学考试易错题（上海专用）

专题06二次函数中的角相等或角的和差倍半关系 题型一：角相等问题 对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角），其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。 二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。 1．（2023秋•虹口区期末）如图，在平面直角坐标系中．已知抛物线经过点，与轴交于点，联结交该抛物线的对称轴于点． （1）求的值和点的坐标； （2）点是抛物线的对称轴上一点且在直线的上方． ①联结、，如果，求点的坐标； ②点是抛物线上一点，联结，当直线垂直平分时，求点的坐标． 2．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，顶点为，与轴分别交于点和点（点在点的左边），与轴交于点，其中点的坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为，联结． ①如果，求四边形的面积； ②如果点在直线上，点在平移后抛物线的对称轴上，当时，求点的坐标． 3．（2023•金山区一模）已知抛物线经过点，，顶点为点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式以及顶点的坐标； （2）将抛物线向上平移个单位后，点的对应点为点，若此时，求的值； （3）设点在抛物线上，且点在直线上方，当时，求点的坐标． 4．（2023•松江区一模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线经过点和点． （1）求该抛物线的表达式； （2）平移这条抛物线，所得新抛物线的顶点为． ①如果，且新抛物线的顶点在的内部，求的取值范围； ②如果新抛物线经过原点，且，求点的坐标． 5．（2023秋•松江区期末）在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过原点、点，此抛物线的对称轴与轴交于点，顶点为． （1）求抛物线的对称轴； （2）如果该抛物线与轴负半轴的交点为，且的正切值为2，求的值； （3）将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点、分别对应新抛物线上的点、．联结，如果点在轴上，轴，且，求新抛物线的表达式． 6．（2023•徐汇区一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、，与轴相交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴，垂足为点，直线与直线相交于点． ①当时，求点的坐标； ②联结，过点作直线的平行线，交轴于点，当时，求点的坐标． 题型二：二倍角关系问题 对于平面直角坐标系中的二倍角问题，往往将其转化成等角问题。对于等角问题，往往有以下解决路径： 等角的构造方法 （1）将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决； （2）用等角的三角比相等，构造直角三角形，寻找比例关系；； （3）利用角的和差关系，寻找等角，而等角存在两个相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例线段构建数量关系； （4）利用角平分线的相关性质定理。 二倍角的构造方法 如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则. 这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了 7．（2023•长宁区二模）已知抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧，点在原点右侧），与轴交于点，且． （1）求抛物线的表达式． （2）如图1，点是抛物线上一点，直线恰好平分的面积，求点的坐标； （3）如图2，点坐标为，在抛物线上存在点，满足，请直接写出直线的表达式． 8．（2022秋•徐汇区期末）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，点是上方抛物线上的一个动点． （1）求这个抛物线的解析式； （2）当的面积为时，求点的坐标； （3）是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2023•长宁区一模）已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，为坐标原点，且． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是线段上的一个动点（不与点、重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，联结．当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 10.（2022年虹口一模24）已知开口向上的抛物线y＝ax2﹣4ax+3与y轴的交点为A，顶点为B，点A与点C关于对称轴对称，直线AB与OC交于点D． （1）求点C的坐标，并用含a的代数式表示点B的坐标； （2）当∠ABC＝90°时，求抛物线y＝ax2﹣4ax+3的表达式； （3）当∠ABC＝2∠BCD时，求OD的长。 11.（2022徐汇一模24题）如图，抛物线与x轴相交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D