2024年九年级中考数学二轮专题复习：几何模型6：将军饮马解决线段和问题

冲刺中考 中考提优几何模型六 “将军饮马”专题 （解决线段和问题的主要方法） 几何专题六：“将军饮马”模型 【模型概述】“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在考试中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现. 模型一：两个定点一个动点 模型 作法 结论 当两定点A、B在直线异侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小. 连接AB交直线于点 P，点P即为所求作的点. PA+PB的最小值为AB 当两定点A、B 在直线同侧时，在直线上找一点 P使得PA+PB最小 作点A关于的对称点A′，连接A′B、A′B与直线的交点即为点P. PA+PB的最小值为 模型 作法 结论 在直线同侧有A、B两个定点，在直线上找到一点P，使得|PA-PB|的值最大. 连接AB并延长与的交点为点P，点P即为所求作的点. |PA-PB|的最大值为AB 在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，在直线上找到一点P，使得|PA-PB|的值最大. 作点B关于直线的对称点B′，连接AB′并延长与的交点为点P，点P即为所求作的点. |PA-PB|的最大值为 在直线同侧有A、B两个定点，在直线上找到一点P，使得|PA-PB|的值最小. 连接AB，作AB的垂直平分线与直线交于点P，点P即为所求作的点. |PA-PB|的最小值为0 典型例题 例1：如图，正方形ABCD的面积是12，△ABE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一点P，则PD+PE的最小值是 . 例2：如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是 . 例3：如图，点C的坐标标为（3，），当△ABC的周长最短，求的值. 例4：如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P为CD上的动点，则|PA-PB|的最大值是多少？ 作业训练 1.如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（  ） A．4 B． C． D．5 2.如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM＋PC的最小值为（ ） A．2 B． C． D．1 3.已知线段AB及直线，在直线上确定一点P，使PA+PB最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（    ）． A． B． C． D． 4.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点P是矩形ABCD内一动点，且，则PC+PD的最小值是（  ） A． B． C． D． 5.如图，等边三角形ABC的边BC上的高为6，AD是BC边上的中线，M是线段AD上的-一个动点，E是AC中点，则EM+CM的最小值为_________． 6.如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是______． 7.如图，正方形ABCD中，AB=7，M是DC上的一点，且DM=3，N是 AC上的一动点，求|DN-MN|的最小值与最大值. 模型二：一个定点两个动点 模型 作法 结论 点P在∠AOB的内部，在OA上找一点C，在OB上找一点D，使△PCD的周长最小. 分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求点. P′P″即为△PCD的周长最小值. 点P在∠AOB的内部，在OA上找一点C，在OB上找一点D，使PD＋CD的值最小. 作点P关于OB的对称点P′，过点P′作P′C⊥OA交OB于点D，交OA于点C，点C、D即为所求点. P′C为PD＋CD的最小值. 点P在∠AOB的内部，在OA、OB上分别取点C、D，使得△PCD的周长最小 分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P′、Q′，连接P′Q′分别交OA、OB于点C、D， 点C、D即为所求点. △PCD的周长最小值为PQ＋P′Q 典型例题 例1：如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10.在OA上有一点Q，OB上有一点R.。若△PQR周长最小，则最小周长是多少？ 例2：已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，A为OM上的点，B为ON上的点，当△PAB的周长取最小值； （1）找到A、B两点，保留作图痕迹； （2）求此时∠APB