专题六解析几何讲义-2024届高考数学二轮复习

专题六　解析几何 第一讲　直线和圆——小题备考 微专题1　直线的方程及应用 常考常用结论 1．两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．直线方程常用的三种形式 (1)点斜式：过一点(x0，y0)，斜率k，直线方程为y－y0＝k(x－x0)． (2)斜截式：纵截距b，斜率k，直线方程为y＝kx＋b. (3)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)． 3．两个距离公式 (1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. (2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝. 1.[2023·辽宁丹东二模]直线x＋ay－3＝0与直线(a＋1)x＋2y－6＝0平行，则a＝(　　) A．－2　　　　　　B．1 C．－2或1 D．－1或2 2．[2023·安徽蚌埠三模]已知直线l1：ax＋2y＋1＝0，l2：(3－a)x－y＋a＝0，则条件“a＝1”是“l1⊥l2”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C.必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．过点P(0，1)且和A(3，3)，B(5，－1)距离相等的直线方程是________． 微专题2　圆的方程、直线与圆、圆与圆 常考常用结论 1．圆的方程 (1)圆的标准方程 当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.(r>0) (2)圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆． 2．直线与圆的位置关系 直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如表． 方法 几何法 代数法 位置关系 根据d＝与r的大小关系判断 消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号判断 相交 d<r Δ>0 相切 d＝r Δ＝0 相离 d>r Δ<0 切线长的计算：过点P向圆引切线PA，则|PA|＝(其中C为圆心)． 弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝2(其中d为弦心距)． 3．圆与圆的位置关系 设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝(r1>0)，圆2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝(r2>0)． (1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程； (2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心； (3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求． 1.[2023·安徽蚌埠三模]直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 2．[2023·河北唐山二模]已知圆C1：x2＋y2－2x＝0，圆C2：(x－3)2＋(y－1)2＝4，则C1与C2的位置关系是(　　) A．外切　　B．内切　　C．相交　　D．外离 3．[2023·河南郑州三模]曲线y＝x2－4x＋1与坐标轴交于A，B，C三点，则过A，B，C三点的圆的方程为________． 4．[2023·广东深圳二模]过点(1，1)且被圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0所截得的弦长为2的直线的方程为________． 1.(1)[2023·新课标Ⅰ卷]过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　) A．1　 　B．　 　C．　 　D． (2)[2023·河南郑州二模]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为(　　) A．2ax＋by－1＝0 　B．2ax＋by－3＝0 C．2ax＋2by－1＝0 　D．2ax＋2by－3＝0 2.[2022·新高考Ⅱ卷]设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________． 技法领悟 1．圆的切线方程：(1)过圆上一点的切线方程：对于这种情况可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，进而求出直线方程． (2)过圆外一点的切线方程：这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出它们只有一个解(交点)时斜率的值，进而求出直线方程． 2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理． 3．两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确