专题四立体几何讲义-2024届高考数学二轮复习

专题四　立体几何 第一讲　空间几何体的表面积与体积、截面与交线——小题备考 微专题1　空间几何体的表面积和体积 常考常用结论 1．柱体、锥体、台体的表面积公式： ①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)； ②圆锥的表面积 S＝πr(r＋l)； ③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)． 2．柱体、锥体的体积公式： ①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)； 1．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．地区不同，制作的粽子形状也不同，图中的粽子接近于正三棱锥．经测算，煮熟的粽子的密度为1.8 g/cm3，若图中粽子的底面边长为8 cm，高为4 cm，则该粽子的重量大约是(　　) A．105 g　　B．110 g　　C．115 g　　D．120 g 2．[2023·安徽亳州一中模拟]若正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，高为3，则该正四棱台的体积为(　　) A．5　　　B．7　　　C．　　　D． 3．[2023·江苏盐城三模]已知底面半径为r的圆锥SO，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为(　　) A． B． C． D． 1.(1)[2023·新高考Ⅱ卷](多选)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P­AC­O为45°，则(　　) A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为4π C．AC＝2 D．△PAC的面积为 (2)如图所示，直三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱长和底面边长都是a，截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，则四面体B­B1DE的体积为________． 技法领悟 1．求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上． 2．求空间几何体的体积，还常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体，易于求解． [巩固训练1]　(1)[2023·全国乙卷] 已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为(　　) A．π B．π C．3π D．3π (2)[2023·辽宁鞍山模拟]如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝CA＝AA1，点D是棱AA1上的点，AD＝AA1，若截面BDC1分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为(　　) A．1∶2　 B．4∶5　 C．4∶9　 D．5∶7 微专题2　与球有关的切、接问题 常考常用结论 1．球的表面积S＝4πR2，体积V＝πR3. 2．长方体、正方体的体对角线等于其外接球的直径． 3．n面体的表面积为S，体积为V，则内切球的半径r＝. 4．直三棱柱的外接球半径：R＝，其中r为底面三角形的外接圆半径，L为侧棱长，如果直三棱柱有内切球，则内切球半径R′＝. 5．正四面体中，外接球和内切球的球心重合，且球心在高对应的线段上，它是高的四等分点，球心到顶点的距离为外接球的半径R＝a(a为正四面体的棱长)，球心到底面的距离为内切球的半径r＝a，因此R∶r＝3∶1. 1．表面积为8的正四面体的外接球的表面积为(　　) A．4π　　B．12π　　C．8π　　D．4π 2．[2023·山东泰安模拟]将半径为4，圆心角为π的扇形围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则该圆锥的内切球的表面积为(　　) A．2π B．3π C． D．4π 3．[2023·湖南常德二模]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是线段A1C1的中点，若四面体M­ABD的外接球体积为36π，则正方体棱长为________． 2.(1)若棱长均相等的正三棱柱的体积为16，且该三棱柱的各个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为(　　) A． B． C．6π D． (2)[2023·福建泉州联考]已知正四棱台的高为1，下底面边长为2，侧棱与底面所成的角为45°，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为(　　) A． B． C．8π D．36π 技法领悟 1．确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与几何体的位置和数量关系． 2．求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． 3．补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则几何体． [巩固训练2]　(1)[2023·江苏南京二模]直角三角形ABC中，斜边AB长为2，绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何体．若该几何体外接球表面积为，则AC长为(　　) A．　　　B．