2024年九年级数学中考必刷题：二次函数中的线段周长问题专项特训

2024年九年级数学中考必刷题： 二次函数中的线段周长问题专项特训 1．如图，已知抛物线经过点三点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点M是线段上的点（不与B、C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示的长； (3)在（2）的条件下，连接，是否存在点m，使的面积最大？若存在，求m的值和的面积；若不存在，说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，B两点，交y轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交于点E，过点P作的平行线交x轴于点F，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将该抛物线y沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点G是新抛物线的顶点，点M为新抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点C，G，M，N为顶点的四边形是以为边的菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 3．如图1，抛物线与x轴的正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点D在抛物线上，且点D到直线的距离为，直接写出点D的横坐标； (3)如图2，向上平移直线BC交抛物线于P、Q两点，直接、分别与y轴的负半轴交于M、N两点，求的值． 4．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线经过点A、B．    (1)写出点A、B的坐标； (2)求抛物线的函数表达式； (3)在抛物线对称轴上存在一点P，使的周长最短，试求点P的坐标和该最短周长 5．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，交y轴于C点，其中B点坐标为，C点坐标为，且对称轴为直线．    (1)求此抛物线的函数关系式； (2)P为抛物线在x轴下方上一点，且，求P点的坐标； (3)在此抛物线的对称轴上取一点M，使得最短，求M点的坐标． 6．如图，已知二次函数与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点． （1）写出两点的坐标； （2）二次函数，顶点为． ①直接写出二次函数与二次函数有关图象的两条相同的性质； ②是否存在实数，使为等边三角形？如存在，请求出的值；如不存在，请说明理由； ③若直线与抛物线交于两点，问线段的长度是否发生变化？如果不会，请求出的长度；如果会，请说明理由．    7．如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M． （1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式； （2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，当 时，求点P的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+ E'B的最小值．    8．如图，已知抛物线上有三点A(-4，0)、B(1，0)、C(0，-3)． （1）求出抛物线的解析式； （2）是否存在一点D，能使A、B、C、D四点为顶点构成的四边形为菱形，若存在请求出D点坐标，若没有，请说明理由． （3）在（2）问的条件，P为抛物线上一动点，请求出|PD-PB|取最大值时，点P的坐标．    9．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴负半轴交于点C，若AB＝4． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，E是第三象限内抛物线上的动点，过点E作EF∥AC交抛物线于点F，过E作EG⊥x轴交AC于点M，过F作FH⊥x轴交AC于点N，当四边形EMNF的周长最大值时，求点E的横坐标； （3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使得以Q、C、B、O为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在，求点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．    10．如图，抛物线与x轴交于A（-1，0），B（5 ，0）两点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）若PE=3+4EF，求m的值； （3）是否存在点P，使得△PCE与△DEF相似．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．      11．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（3，0），经过点P（﹣2，5）． （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，新抛物线交线段PA于点M，若OM⊥AP，求m的值； （3）将抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，设新抛物线的顶点为N，与x轴的右交点为Q，若tan∠PNQ＝，求m的值． 12．如图，抛物线与直线相交于，两点，且抛物线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线