2024年中考数学考点专项训练  二次函数与菱形存在性问题

2024年中考数学考点专项训练  二次函数与菱形存在性问题 1．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求点A，B，C的坐标； (2)连接，，并将沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于、两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式． (2)连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积． 3．如图，一次函数的图像与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数的图像经过B，C两点，并与x轴交于点A．点是线段上一个动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图像和直线相交于点D和点E，连接． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知二次函数的图象经过点，与x轴分别交于点A，点．点P是直线上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，并把沿y轴翻折，得到四边形．若四边形为菱形，请求出此时点P的坐标； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形的最大面积． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于两点，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的任意一点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)如果点在运动过程中，能使得以为顶点的三角形面积最大，请求出此时点的坐标； (3)连接，并将沿轴对折，得到四边形，如果四边形为菱形，求点的坐标． 6．二次函数经过点，，．    (1)求该二次函数的解析式； (2)设点的横坐标为，过点作轴交直线于点，轴交对称轴于点，以、为边构造矩形，当矩形的周长最大时，求点的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位，向上平移2个单位后得到新抛物线，与直线交于点，点为平移后抛物线对称轴上一点，点为平面内任意一点．在第（2）问条件下，当点、、、构成的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 7．在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上，如果四个点、、、中恰有三个点在二次函数（a为常数且）的图象上．    (1)直接写出a的值； (2)如图1，点P、Q在二次函数图象上，且在y轴异侧，连接交y轴于点，，设点P、Q的横坐标，（）为一元二次方程的两个根，求的值； (3)如图2，已知菱形的顶点、、在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长． 8．综合与探究 如图，已知二次函数的图像与轴交于，B两点，与轴交于点C，直线经过B，C两点 （1）求二次函数的解析式； （2）点P是线段 BC上一个动点，过点P作x轴的垂线于点Q，交抛物线于点D，当点Q是线段PD的中点时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，若点M是直线BC上一点，N是平面内一点，当以P，D，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点N的坐标． 9．综合与探究 如图，二次函数与轴相交于点和点，与轴相交于点；连接，点为上方抛物线上的一个动点，过点作于点． （1）求抛物线的表达式 （2）设点的横坐标为，试用含的代数式表示线段的长；并求出长度的最大值． （3）连接，点是轴上的一个动点，点是平面内任意一点；是否存在这样的点、，使得以、、、为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）分别求出图中直线和抛物线的函数表达式； （2）连接PO、PC，并把△POC沿C O翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 11．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，连接． （1）求两点坐标及直线的解析式； （2）点是直线下方抛物线上一点，当面积最大时，在轴下方找一点，使得最小，记这个最小值是，请直接写出此时点的坐标及． （3）在（2）的条件下，连接交轴于点，将抛物线沿射线平移，平移后的抛物线记为， 当经过点时，将抛物线位于轴下方部分沿轴翻折，翻折后