2024年中考数学考点专项训练  二次函数中的特殊三角形存在性问题

2024年中考数学考点专项训练  二次函数中的特殊三角形存在性问题 1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． (1)写出点、、的坐标； (2)过动点作平行于轴的直线，直线与二次函数的图象相交于点，． ①若，以为直径作，当与轴相切时，求的值； ②直线上是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值：若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上的一个动点（与点B，C不重合）．连接交于点Q． (1)求抛物线的表达式． (2)当时，求点P的坐标． (3)试探究在点P的运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若直线经过，两点，求直线的函数表达式； (3)在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求点的坐标； (4)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标． 4．已知：如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交线段、轴于点、．设点的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长； ②连接、，是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出的最大面积；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若点为轴上方抛物线上的一个的动点，点为轴上的动点，是否存在这样的点和点，使得以为腰的等腰直角？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，直线经过点B，与y轴交于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)将在直线上平移，平移后的三角形记为，直线交抛物线于Q，当时，求点P的坐标． 6．如图，二次函数的图象与x轴相交于点，B，其顶点是C． (1)______； (2)若点D是第三象限抛物线上的一点，连接，且．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围； (3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接、、．已知是直角三角形，求点P的坐标． 7．在平面直角坐标系中，抛物线和的开口都向下，，与y轴相交于点A，过点A作x轴的平行线与相交于点B，与相交于点C，点C在线段上（点C不与点B重合）．    (1)点A的坐标是________； (2)如图，抛物线的顶点为P，的中点为Q．若，，求n的值； (3)直线与相交于点D，与相交于点E，当四边形是轴对称图形时，求n关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围． 8．如图，抛物线与x轴交于两点和，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)N是抛物线对称轴上一点，当三角形为等腰三角形时，求N点的坐标． (3)点D是边上一点，连接，将线段以O为旋转中心，逆时针旋转，得到线段，若点E落在抛物线上，求出此时点E的坐标； (4)点M在线段上（与A，B不重合），点N在线段上（与B，C不重合），是否存在以C，M，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，已知抛物线经过，两点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点为线段上一动点（不与重合），过作轴的平行线，记该直线右侧与围成的图形面积为，试确定与的函数关系式． 10．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接，，求的正切值； (3)点是抛物线的对称轴上一点，当与相似时，求点的坐标． 11．如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)问在y轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． (3)若在第一象限的抛物线下方有一动点，满足，过作轴于点，设的内心为，连接、，请直接写出的度数和长度的最小值． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．    (1)顶点D的坐标为 ； (2)过点C作轴交抛物线于点F，点P在抛物线上，，求点P的坐标； (3)点G是一次函数图像上一点，点Q是抛物线上一点，是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，则点Q的横坐标为 ． 13．如图，抛