5.5数学归纳法课件-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

5．5　数学归纳法 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题． 新知初探·自主学习 课堂探究·素养提升 新知初探·自主学习 教 材 要 点 知识点一　归纳法 由有限多个个别的特殊事例得出________的推理方法，通常称为归纳法． 一般结论 【思考探究】 设函数f(x)＝(x＞0)，观察： f1(x)＝f(x)＝， f2(x)＝f(f1(x))＝， f3(x)＝f(f2(x))＝， f4(x)＝f(f3(x))＝， …… 根据以上事实，归纳推理，得 当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________． [提示]　依题意，先求函数结果的分母中x项的系数所组成数列的通项公式，由1，3，7，15，…可推知an＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2，4，8，16，…，故其通项bn＝2n，所以当n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝. [答案]　 知识点二　数学归纳法 对于某些与自然数有关的数学命题，常采用下面的方法和步骤来证明它的正确性： (1)证明当n取________(例如n0＝0，n0＝1等)时命题成立． (2)假设当________(k为自然数，k≥n0)时命题正确，证明当________时命题也正确．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确．这种证明方法叫做数学归纳法． 初始值n0 n＝k n＝k＋1 基 础 自 测 1．一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三角形，第n层和第n＋1层花盆总数分别是f(n)和f(n＋1)，则f(n)与f(n＋1)的关系为(　　) A．f(n＋1)－f(n)＝n＋1 B．f(n＋1)－f(n)＝n C．f(n＋1)－f(n)＝2n D．f(n＋1)－f(n)＝1 答案：A 2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 解析：边数最少的凸n边形是三角形． 答案：C 3．用数学归纳法证明等式“1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2”时，从k到k＋1左边需增加的代数式为(　　) A．2k－2 B．2k－1 C．2k D．2k＋1 解析：等式“1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2”中， 当n＝k时，等式的左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)， 当n＝k＋1时，等式的左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋(2k＋1)， ∴从k到k＋1左边需增加的代数式为2k＋1. 答案：D 4．用数学归纳法证明：“当n为奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，在归纳假设中，假设当n＝k时命题成立，那么下一步应证明n＝________时命题也成立． 解析：两个奇数之间相差2，∴n＝k＋2. k＋2 课堂探究·素养提升 数学归纳法的概念 例1　用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边计算的结果是(　　) A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 【解析】　实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为an＋1， 所以n＝1时，左边的最后一项应为a2， 因此左边计算的结果应为1＋a＋a2. 【答案】　C 状元随笔　注意左端特征，共有n＋2项，首项为1，最后一项为an＋1. 方法归纳 1．验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1. 2．递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．   跟踪训练1　下列四个判断中，正确的是(　　) A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N＋)，当n＝1时为1 B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N＋)，当n＝1时为1＋k C．式子＋…＋(n∈N＋)，当n＝1时为1＋ D．设f(n)＝＋…＋(n∈N＋)，则f(k＋1)＝f(k)＋ 解析：对于选项A，n＝1时，式子应为1＋k；选项B中，n＝1时，式子应为1；选项D中，f(k＋1)＝f(k)＋. 答案：C 用数学归纳法证明等式 例2　用数学归纳法证明：1－＋…＋＝＋…＋(n∈N＋)． 【证明】　①当n＝1时，左边＝1－＝＝＝右边，所以等式成立． ②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即 1－＋…＋＝＋…＋.则当n＝k＋1时， 左边＝1－＋…＋ ＝ ＝ ＝＋…＋＝右边， 所以，n＝k＋1时等式成立． 由①②知，等式对任意n∈N＋成立． 状元随笔　 要证等式的左边共2n项，右边共n项，f(k)与f(k＋1)相比左边增两项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同．因此，由“n＝k”到“n＝k＋1”时要注意项的合并． 方法归纳 1．用数学归纳法证明恒