4.1 因式分解 同步分层作业-2023-2024学年数学八年级下册（北师大版）

4.1 因式分解 1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也可称为分解因式。 2.公因式：把多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的各项的公因式. ：基础过关练 一、单选题 1．下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 5．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（    ） A． B． C． D． 6．下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．若关于x的多项式可以分解为，则常数 ． 8．已知二次三项式有一个因式是，则的值为 . 9．在中，从左到右的变形是 ，从右到左的变形是 ． 10．多项式因式分解的结果是，则 ， 11．把多项式(a为常数)因式分解得到，则 ． 12．若多项式分解因式的结果为，则的值为 ． ：培优提升练 三、解答题 13．下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ （1）；（2）； （3）；（4）； （5）（6）． 14．关于、、的多项式，，，，在将字母、、轮换（即将换成，换成，换成）时，保持不变．这样的多项式称为、、的轮换式．我们可以利用轮换式的特征帮助我们进行巧妙地因式分解，我们也叫轮换式法． 例题：分解因式 解：令时，原式 所以是原式的因式，由于原式是、、的轮换式，所以、也是原式的因式，从而可以设 ， （保证两边次数相同，其中是系数） 令，得，即 所以 阅读上述材料分解因式完成下列两题： (1)对多项式 令________，原式；令________，原式 所以设 令得________ (2)用轮换式法因式分解： 15．求解下列问题： (1)试确定和，使能被整除． (2)已知关于、的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求． (3)已知，求的值． 16．【例题讲解】因式分解：． 为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成， 展开等式右边得：， 恒成立． 等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即， 解得， ． 【方法归纳】 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】 (1)若，则________； (2)若有一个因式是，求的值及另一个因式． 17．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即，∴，解得． 故另一个因式为，m的值为． 仿照上面的方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 18．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：(p，q是正整数，且)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定： ．例如：12可以分解成或，因为，所以是12的最佳分解，所以．如果一个两位正整数t，(，x，y为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，根据以上新定义，计算下列问题： (1)求的值； (2)判断15和26是否为“吉祥数”并直接写出所有满足条件的“吉祥数”； (3)求“吉祥数”中，的最大值． 1．D 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据因式分解的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A：为整式的乘法，等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项不符合题意； B、，等式左边不等于等式右边，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、，利用平方差公式进行乘法运算，等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； D、，符合因式分解的定义，故本选项符合题意， 故选：D． 2．D 【分析】本题考查了因式分解．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项不符合题意； D、是把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 3．A 【分析】本题考查