专题1.2 等边三角形中的几何综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题1.2 等边三角形中的几何综合 · 思想方法 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 知识点总结 一、等腰三角形 1.定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. 2.等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 3.等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. · 典例分析 【典例1】（1）如图1，在等边三角形中，点D、E分别在边、边上，，连接与相交于点G，求的度数； （2）如图2，在等边三角形中，点D、E分别在边、边的延长线上，，与延长线相交于点G，若，，试证的度数是否发生变化，并求的长； （3）如图3，在中，，，点D，E分别为上的动点，且，．求的最小值． 【思路点拨】 （1）证明得出，由，等量代换即可解答； （2）由三角形为等边三角形，利用等边三角形的性质得到，利用等角的补角相等得到夹角相等，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质可得出答案； （3）过点B作，且，连接，交于点，过点A作，交的延长线于点，证明，得出，则，即的最小值即为的长，此时点E与点重合，可得出答案． 【解题过程】 解：（1）∵为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点B作于点F， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）过点B作，且，连接，交于点，过点A作，交的延长线于点H，如图所示： 则， 在等腰直角中，， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， 即的最小值即为的长，此时点E与点重合， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴ 即 ∴取得最小值时，的长度为． · 学霸必刷 1．（2023上·湖北武汉·八年级校联考练习）如图，在等边中，于D，E是线段上一点，F是边上一点，且满足，G是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的个数有（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2023上·安徽亳州·八年级统考期末）如图，在等边三角形中，点是边上（不含端点）的动点，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点，连接、以下说法：①；②；③；④当点D在上自左向右运动时，四边形的面积先减小后增大，正确的是（    ） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 3．（2023上·天津滨海新·八年级校考期中）如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④连接，平分；⑤．恒成立的结论有（　　） A．①⑤ B．①②⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤   4．（2023上·山东济南·九年级校联考阶段练习）如图，等边中，，点为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则的最小值为 ． 5．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，是边长为3的等边三角形，延长至点，使得．点在线段上，且，连接，以为边向右作等边，过点作交的延长线于点，点是的中点，则四边形的面积为 ．    6．（2024上·广东广州·八年级统考期末）如图，是等边三角形，，，，延长至E，使，连接． （1）求证：； （2）求的面积； （3）点M，N分别是线段，上的动点，连接，求的最小值．   7．（2023上·湖北咸宁·八年级统考期末）如图，已知是等边三角形，点在边上．             （1）如图1，在的延长线上取点，使，在上截取，连接． ①求证：是等边三角形； ②求证：． （2）如图2，在的延长线上取点，使，直接写出之间的等量关系． 8．（2023上·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考期中）等边中，点H、K分别在边、上，且，连接、交于点F． （1）如图1， ①求证：； ②度数； ③连接，若，求的值； （2）如图2，若点G为边的中点，连接，且，求的大小． 9．（2024上·广东汕头·八年级统考期末）已知为等边三角形，点为的垂直平分线上一点，连接、，点、分别在、所在的直线上，连接、． （1）如图①，若，点、在边、上，，则、、之间的数量关系是_______；若，则的周长为______； （2）如图②，点在上，，求证：； （3）如图③，点