专题1.1 等腰三角形中的几何综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题1.1 等腰三角形中的几何综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 · 知识点总结 一、等腰三角形 1.定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. 2.等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. 3.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）. · 典例分析 【典例1】【概念学习】 规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”．    （1）【概念理解】 如图1，在中，，，平分， 则与　　（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”． （2）如图2，在中，平分，，．求证：为的等腰分割线； （3）【概念应用】 在中，，是的等腰分割线，直接写出的度数． 【思路点拨】 （1）由题意推出，，，从而得出结论； （2）根据题意，通过计算得出是等腰三角形，，，，从而得出结论； （3）根据题意，分为当是等腰三角形和是等腰三角形两类，当 是等腰三角形时，再分为：，，三种情形讨论；同样当是等腰三角形时，也分为三种情形讨论，分别计算出的度数即可． 【解题过程】 （1）解：，， ， 平分， ， ， ， 和互为“形似三角形”， 故答案为：是； （2）证明：．，， ， 平分， ， ， 是的一个外角， ， 是等腰三角形，，，， 为的等腰分割线； （3）解：（Ⅰ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时， ①如图1所示：    当时，则， ， 此时，是“形似三角形”，可知， ； ②如图2所示：    当时，则， 此时，是“形似三角形”，可知， ； ③当时，这种情况不存在； （Ⅱ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时， ①如图3所示：    当时，， 此时，是“形似三角形”，可知， ， ， ， ， ， ； ②如图4所示：    当时，， 此时，是“形似三角形”，可知， ， 在中，由三角形内角和可知，得， ， ； ③当时，这种情况不存在； 综上所述：或或． · 学霸必刷 1．（2022秋·河南南阳·八年级校考期末）如图，在等腰中，，，点在线段上运动不与、重合），连接，作，交线段于点． （1）当时，　　；点从点向点运动时，逐渐变　　（填“大”或“小” ； （2）当等于多少时，，请说明理由； （3）在点的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形．   2．（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）在等腰中，，D为上一点，E为的中点． （1）如图1，连接，作，若，，，求的长． （2）如图2，F为上一点，连接，．若，求证：．   3．（2022秋·河北邯郸·八年级校考期中）如图，已知：在中，，，将一块足够大的直角三角尺按如图放置，顶点Р在线段上滑动（且不与A、B重合），三角尺的直角边始终经过点C，并且与的夹角，斜边交于点D．    （1）当______°，，此时______° （2）点Р在滑动时，当长为多少时，与全等，为什么？ （3）点Р在滑动时，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，直接写出夹角的大小；若不可以，请说明理由． 4．（2023秋·重庆永川·八年级统考期末）如图，在中，，，垂足是点，平分，交于点，在外有一点，使， （1）求证：； （2）在上取一点，使，连接，交于点，连接．求证：①；②． 5．（2022秋·福建泉州·八年级统考期中）如图，已知以的边分别向外作等腰与等腰，其中，连接，和相交于点O． （1）求证：； （2）求的大小； （3）连接，取的中点F，再连结，猜想与的位置关系和数量关系，并证明．   6．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接，交于点F，．    （1）说明：； （2）若平分，，，求的面积； （3）判断，，之间的数量关系，并加以说明. 7．（2022秋·广东广州·八年级校考阶段练习）