广东佛山市桂城中学2023-2024学年高三1月调研考试数学试题

2024年度广东佛山市桂城中学高三1月调研 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．设集合A＝{x|x2－4<0}，B＝{－2，－1，0，1，2}，则A∩B＝(　　) A．{－2，2} B．{－1，0} C．{－1，0，1} D．{0，1} 2．若复数z＝－3i，则z－＝(　　) A．2i B．－2i C．4i D．－4i 3．椭圆＋＝1的长轴长为6，则该椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 4．设a，b是两个单位向量，若a在b上的投影向量为－b，则cos〈a，b〉＝(　　) A．－ B． C．－ D． 5．若函数f(x)＝log3(4＋m·3x－m2)在[1，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围为(　　) A．(－4，1) B．(0，1) C．(－1，4) D．(0，4) 6．记数列{an}的前n项和为Sn，则“S3＝3a2”是“{an}为等差数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7过圆x2＋y2＝4上一点P作圆O：x2＋y2＝m2(m>0)的两条切线，切点分别为A，B，若∠APB＝，则实数m＝(　　) A． B． C．1 D．2 8．已知tanα＋tanβ＝3，sin(α＋β)＝2sinαsinβ，则tan(α＋β)＝(　　) A．4 B．6 C．－ D．－6 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．有一组从小到大排列的样本数据x1，x2，…，xn－1，xn(n≥4)，若将第1个数据减1，最后一个数据加2，其余数据不变，得到新的一组数据x1－1，x2，…，xn－1，xn＋2，则下列统计量中，相比原来的数据变大的是(　　) A．极差 B．中位数 C．平均数 D．方差 10．某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费，抽奖结果共分5个等级，等级x与购物卡的面值y(元)的关系式为y＝eax＋b＋k，若3等奖比4等奖的面值多100元，比5等奖的面值多120元，且4等奖的面值是5等奖的面值的3倍，则(　　) A．a＝－ln 5 B．k＝15 C．1等奖的面值为3130元 D．3等奖的面值为130元 11．已知函数y＝f(x)在R上可导且f(0)＝1，其导函数f′(x)满足(x＋1)[f′(x)－f(x)]>0，对于函数g(x)＝，下列结论正确的是(　　) A．函数g(x)在(－∞，－1)上为增函数 B．－1是函数g(x)的极小值点 C．函数g(x)必有2个零点 D．e2f(e)>eef(2) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学5个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法种数为________． 13．函数f(x)＝sin(ω>0)的非负零点按照从小到大的顺序分别记为x1，x2，…，xn，…，若x3－x2＝，则xn的值可以是________．(写出符合条件的一个值即可) 14．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为2 km，山高为2 km，B是山坡SA上一点，且AB＝2 km．现要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为________ km． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，在①asinC＝ccosA；②cos(B＋C)＋sinA＝0；③sin2B＋sin2C－sinBsinC＝sin2A这三个条件中任选一个作为题目的补充条件，并解答下面问题： (1)求角A的大小； (2)若b＋c＝2，a＝，求△ABC的面积． 16.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝，AB＝1，E，F分别为A1C，BB1的中点，且EF⊥平面AA1C1C. (1)求棱BC的长度； (2)若BB1⊥A1B1，且S△A1FC＝，求二面角B1－A1F－C的正弦值． 17．已知函数f(x)＝＋2ln x. (1)求函数g(x)＝f(x)－x的零点； (2)证明：对于任意的正实数k，存在x0>0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有k>f(x)． 18．已知动圆P经过点A(－，0)，并且与圆B：(x－)2＋y2＝16相切，记圆心P的轨迹为曲线C. (1)求