2024年集英苑冬季竞赛高中数学试题

绝密★启用前 2024年集英苑冬季赛 数 学 姓名 准考证号 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共3页，满分150分，考试时间140分钟。 选择题部分（共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.log24= A.=1 B.0 C.1 D.2 2.平面向量a=(1,1),b=(2,3),则1a+b1= A.3 B.5 C.7 D.11 rx≥-1， 3.已知实数x,y满足约束条件 y≥2x, 该约束条件在坐标平面上表示的区域如图所示，则y的 y≤x+1 取值范围是 A.[-2,2] B.[-1,1] C.[-2,1] D.[-1.2] (第3题图) 4.已知等比数列{a.满足a1=a2a>1,若a。=1,则n= A.2 B.3 C.4 D.5 5.设a,b∈R,集合A=a,a2+1,B=1b,b2+1.则“A=B”"是“a=b"的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.某考试评定考生成绩时，采取赋分制度：只有原始分排名前3%的同学才能赋分97分及以上.若 这些学生的原始分的最大值为a,最小值为b,令f(x)为满足(a)=100,f八b)=97的一次函 数.对于原始分为x(b≤x≤a)的学生，将f(x)的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始 分96，赋分100：小叶原始分81，赋分97；小林原始分89，他的赋分是 A.97 B.98 C.99 D.98或99 数学试题第1页（共3页）】 7.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知C=2,a2-62=a0c0sA,则anA= 3 A.2-3 B号 C.1 D.2 8.随机事件A.B,C满足P(AB)+P(BIC)+P(C1A)=1,则P(A)+P(B)+P(C)的取值范围是 A[1,号别 B.0,] 0,别 D.(0,2) 非选择题部分（共110分)】 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 9.函数y=sinx的最小正周期是 10椭圆号+y=1经过双尚线子-y=0a>0)的焦点.则a 11.已知圆锥A0的高等于底面半径r,则圆锥AO与半径为r的球的表面积之比是， 12.若数列a.}满足对任意neN”,数列a,的前n2项至少有n项大于n,且a。≥0，则称数列 a.|具有性质M2.若存在具有性质M2的数列{a.|,使得其前n项和S。≤An恒成立，则整数入 的最小值是 三、解答题：本大题共5小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 13.(本题满分15分)如图，已知三棱柱ABC一A,B,C,, A AC,⊥平面A,B,C,,AB⊥BC.D,E分别是BC, AC,的中点. E YD (I)证明：DE∥平面AB,C1: (Ⅱ)设AC,与平面ABB,A1所成角的大小是， 若AD⊥BC,,证明：∠BAC=a. (第13题图) 14.(本题满分15分)设aeR,函数f(x)=(x+a)nx,g(x)=xln(x+a). (I)当a=0时，求函数f(x)的单调区间： (Ⅱ)是否存在a,使得f(x)是(0，+∞)上的单调递增函数，且g(x)是(-a,+∞)上的单调递 增函数？若存在，试求出的取值范围：若不存在，请说明理由. 数学试题第2页（共3页） 15.(本题满分20分)设M是由复数组成的集合，对M的一个子集A,若存在复平面上的一个圆，使 得A的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且C,A中的数对应的点都在圆外，则称 A是一个M的“可分离子集” (I)判断1,2,3}是否是i,1,2,3}的“可分离子集”，并说明理由： (Ⅱ)设复数z满足0<Re(:)<1,0<Im(z)<1,其中Re(:),Im(z)分别表示：的实部和虚 部.证明：：，是11，z,,的“可分离子集”当且仅当1：|<1， 16.(本题满分20分)已知A是抛物线y2=2px(p>0)上一点（异于原点），斜率为k的直线 与抛物线恰有一个公共点A((1与x轴不平行). (I)当k=32印时，求点A的纵坐标： (Ⅱ)斜率为k,的直线马，与抛物线交于B,C两点，且△ABC是正三角形，求点的取值范围 k 17.(本题满分20分)春节将至，又是一年万家灯火的团圆之时.方方正正的小城里，住着1000户 人家，恰好构成了坐标平面上集合A={(x,y)川1≤x,y≤1000，x,y∈Z的所有点.夜里，小 城的人家挂上大红灯笼，交相辉映，将小城的夜晚编织成发光的大网.在坐标平面上看，A中的 每个点均独立地以概率p被点亮，或以I-的概率保持暗灭.若A中两个点的距离为1，则这两 个点被称为是相邻的.若A中的n个被点亮的点(n≥1)构成一依次相邻的点列A,··,A.,则 称这